Информатика

Законы логики и правила преобразования логических выражений.

Изучаем основные законы логики, учимся преобразовывать логические выражения, используя логические законы, вводим понятие “нормальная форма логической формулы”, закрепляем навыки упрощения логических выражений, используя логические законы.

  1. Обучающие:
    1. Изучить основные законы логики
    2. Научить преобразовывать логические выражения, используя логические законы
    3. Ввести понятие “нормальная форма логической формулы”
    4. Закрепить навыки упрощения логических выражений, используя логические законы
    5. Научить решать логические задачи
    6. Закрепить навыки решения логических задач
  2. Развивающие:
    1. Развивать логическое мышление
    2. Развивать внимание
    3. Развивать память
    4. Развивать речь учащихся
  3. Воспитывающие:
    1. Воспитывать умение слушать учителя и одноклассников
    2. Воспитывать аккуратность ведения тетради
    3. Воспитывать дисциплинированность

Ход урока

Здравствуйте, ребята. Мы продолжаем изучать основы логики и тема нашего сегодняшнего урока «Законы логики и правила преобразования логических выражений». Изучив данную тему, вы узнаете, основные законы логики, научитесь упрощать логические выражения, используя логические законы, решать логические задачи

Проверка домашнего задания

Какой у вас получился ответ в домашней задаче? (2)

Откройте свои тетради там, где вы выполняли домашнюю работу, я пройду посмотрю

Объяснение нового материала

Переходим к новой теме.

В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений. Приведем соотношения, отражающие эти законы.

1. Закон двойного отрицания:

А = .

Двойное отрицание исключает отрицание.

2. Переместительный (коммутативный) закон:

— для логического сложения:

— для логического умножения:

Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.

В обычной алгебре 2 + 3 = 3 + 2, 2 ´ 3 = 3 ´ 2.

3. Сочетательный (ассоциативный) закон:

— для логического сложения:

(A Ú B) Ú C = A Ú (BÚ C);

— для логического умножения:

При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать.

В обычной алгебре: (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4) = 2 + 3 + 4, 5 ´ (6 ´ 7) = 5 ´ (6 ´ 7) = 5 ´ 6 ´ 7.

4. Распределительный (дистрибутивный) закон:

— для логического сложения:

— для логического умножения:

(A&B) Ú C = (A Ú C)&(B Ú C).

Определяет правило выноса общего высказывания за скобку.

В обычной алгебре: (2 + 3) ´ 4 = 2 ´ 4 + 3 ´4.

5. Закон общей инверсии (законы де Моргана):

— для логического сложения

= & ;

— для логического умножения:

= Ú

6. Закон идемпотентности

— для логического сложения:

— для логического умножения:

Закон означает отсутствие показателей степени.

7. Законы исключения констант:

— для логического сложения:

A Ú 1 = 1, A Ú 0 = A;

— для логического умножения:

8. Закон противоречия:

A& = 0.

Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.

9. Закон исключения третьего:

A Ú = 1.

10. Закон поглощения:

— для логического сложения:

— для логического умножения:

11. Закон исключения (склеивания):

— для логического сложения:

— для логического умножения:

(A Ú B)&( Ú B) = B.

12. Закон контрапозиции (правило перевертывания):

(A Û B) = (BÛ A).
┐(А→В) = А&┐В
┐А&(АÚВ)= ┐А&В
АÚ┐А&В=АÚВ

Формула имеет нормальную форму, если в ней отсут­ствуют знаки эквивалентности, импликации, двойного от­рицания, при этом знаки отрицания находятся только при переменных.

Пример 1. Найдите X, если Ú = В.

Упростим левую часть равенства. Какими законами воспользуемся? Для преобразования левой части равенства последовательно воспользуемся законом де Моргана для логического сложения и законом двойного отрицания:

( & ) Ú ( &A)

Согласно распределительному закону для логического сложения:

&( Ú A)

Согласно закону исключения третьего и закона исключения констант:

&1 =

Полученную левую часть приравняем правой:

= В

Окончательно получим, что

X = .

Пример 2. Упростите логическое выражение (A Ú B Ú C)&

Посмотрите на выражение, посмотрите на законы, что можно сделать?

Согласно закону общей инверсии для логического сложения (первому закону Моргана) и закону двойного отрицания:

(A Ú B Ú C)& = (A Ú B Ú C)&( &B& )

Согласно распределительному (дистрибутивному) закону для логического сложения:

(A Ú B Ú C)&( &B& ) = (A& ) Ú (B& ) Ú (C& ) Ú (A&B) Ú (B&B) Ú (C&B) Ú (A& ) Ú (B& ) Ú (C& )

Согласно закона противоречия:

(A& ) = 0; (C& ) = 0

Согласно закона идемпотентности

Подставляем значения и, используя переместительный (коммутативный) закон и группируя слагаемые, получаем:

0 Ú (A&B) Ú ( &B) Ú B Ú (C&B) Ú ( &B) Ú (C& ) Ú (A& ) Ú 0

Согласно закона исключения (склеивания)

(A&B) Ú ( &B) = B
(C&B) Ú ( &B) = B

Подставляем значения и получаем:

0 Ú B Ú B Ú B Ú (C& ) Ú (A& ) Ú 0

Согласно закона исключения констант для логического сложения и закона идемпотентности:

0 Ú B Ú 0 Ú B Ú B = B

Подставляем значения и получаем:

B Ú (C& ) Ú (A& )

Упростить логическую формулу:

Сегодня мы продолжаем изучать тему “Законы логики и правила преобразования логических выражений”. Будем упрощать выражения и учиться решать логические задачи

Но для начала проверим как вы выполнили домашнее задание (1 ученик у доски, остальные показывают в тетрадях).

1.Упростить логическое выражение

Чтобы проверить правильность упрощения, нужно построить таблицы истинности для исходного и полученного логического выражения. Результирующие столбцы должны совпадать.

2. Логическое выражение называется тождественно – ложным, если оно принимает значения 0 на всех наборах входящих в него простых высказываний.

Упростить выражение и показать, что оно тождественно – ложное

2.Логическое выражение называется тождественно – истинным, если оно принимает значения 1 на всех наборах входящих в него простых высказываний.

Упростить выражение и показать, что оно тождественно – истинное

3.Переведите к виду логической формулы вы­сказывание: «Неверно, что если погода пасмурная, то дождь идет тогда и только тогда, когда нет ветра».

Решение. Определим следующие простые высказывания:

П — «пасмурная погода»;
Д — «идет дождь»;
В — «дует ветер».

Тогда соответствующее логическое выражение запишется так:

Перейдем к решению логических задач. Логические задачи обычно формулируются на естествен­ном языке. В первую очередь их необходимо формализовать, то есть записать на языке алгебры высказываний. Полученные логические выражения необходимо упростить и проанализировать. Для этого иногда бывает необходимо построить таблицу истинности полученного логического выражения. Несложные задачи решаются путем логических рассуждений.

В школе-новостройке в каждой из двух аудиторий может находиться либо кабинет информатики, либо кабинет физики. На дверях аудиторий повесили шутливые таблички. На первой повесили табличку «По крайней мере, в одной из этих аудиторий размешается кабинет информатики», а на второй аудитории — табличку с надписью «Кабинет физики находится в другой аудитории». Проверяющему, который пришел в школу, известно только, что надписи на табличках либо обе истинны, либо обе ложны. Помогите проверяющему найти кабинет информатики.

Переведем условие задачи на язык логики высказывании. Так как в каждой из аудиторий может находиться кабинет информатики, то пусть:

А = «В первой аудитории находится кабинет информатики»;
В = «Во второй аудитории находится кабинет информатики».

Отрицаний этих высказывании:

А = «В первой аудитории находится кабинет физики»;
В = «Bo второй аудитории находится кабинет физики».

Высказывание, содержащееся на табличке на двери первой аудитории, соответствует логическому выражению:

Высказывание, содержащееся на табличке на двери вто­рой аудитории, соответствует логическому выражению:

Содержащееся в условии задачи утверждение о том, что надписи на табличках либо одновременно истинные, либо одновременно ложные в соответствии с законом исключен­ного третьего записывается следующим образом:

Подставим вместо X и Y соответствующие формулы:

(X &Y) v (X & Y) = ((А vB) &A)v ((A v B) & А).

Упростим сначала первое слагаемое. В соответствии с законом дистрибутивности умножения относительно сложения:

((А vB) &A) = A&A v B&A

В соответствии с законом непротиворечия:

A&A v B&A = 0 v В&А

Упростим теперь второе слагаемое. В соответствии с первым законом де Моргана и законом двойного отрицания:

(A v B) & А = А&В&А = А&А&В

В соответствии с законом непротиворечия:

В результате получаем:

(0 v В & A) v 0 = В& А.

Для того чтобы выполнялось равенство В & А = 1, В и А должны быть равны 1, то есть соответствующие им высказывания истинны.

Ответ: В первой аудитории находится кабинет физики, а во второй — кабинет информатики.

5. Упростить логические выражения. Правильность упрощения логических выражений проверить с помощью таблиц истинности для исходных и полученных логических формул.

В процессе составления расписания уроков учителя высказали свои пожелания. Учитель математики, высказал пожелание про­водить первый или второй урок, учитель информатики — первый или третий, а учитель физики второй или третий урок. Сколько существует возможных вариантов расписания и каковы они?

Проверим, как вы выполнили домашнюю работу.

Продолжаем решать задачи и упрощать логические выражения

Кто из учеников А, В, С и D играет, а кто не играет в шахматы, если известно следующее:

  • а) если А или В играет, то С не играет;
  • б) если В не играет, то играют С и D;
  • в) С играет

Решение. Определим следующие простые высказывания:

  • А — «ученик А играет в шахматы»;
  • В — «ученик В играет в шахматы»;
  • С — «ученик С играет в шахматы»;
  • D — «ученик D играет в шахматы».

Запишем произведение указанных сложных высказываний:

((A v В) → С) & (В → С & D) & С.

Упростим эту формулу:

((A v В) → С) & (В → С & D) & С = ((А v В) v С) & (В v С & D) & С = (А & В) v С) & (В v С & D) & C = A & B & C & D =1.

Отсюда А = 0, В = 1, С = 1, D = 1.

Ответ: в шахматы играют ученики В,С и D, а ученик А не играет.

www.metodichka.net

Законы логики в информатике

В формальной логике предполагается, что в любом рассуждении можно разделить его содержание и форму. И, поскольку для определения правильности рассуждения важна только его форма, от содержания можно отвлечься.

Мыслить логично — значит мыслить точно и последовательно, не допускать противоречий в своих рассуждениях, уметь находить свои и чужие логические ошибки. Логичность мышления не гарантирует человеку, что он всегда будет знать истину, но позволит, по крайней мере, избежать очевидных ошибок.

Примерно также, вы, например, решая на уроке алгебры квадратное уравнение, не учитываете, что именно обозначают, входящие в него числа. И здесь тоже знание алгоритма решения не гарантирует правильность ответа в задаче (ведь ошибка могла быть допущена, к примеру, и при составлении уравнения), но резко повышает вероятность его получения.

Основные понятия логики

Понятие — форма мышления, в которой отражаются существенные отличительные признаки предметов.
Понятие имеет две основные логические характеристики: содержание и объем.

Содержание понятия Содержанием понятия называется совокупность существенных признаков, отраженных в этом понятии. Объем понятия Объем понятия — это множество предметов, каждому из которых принадлежат признаки, относящиеся к содержанию понятия. Совместимые и несовместимые понятия По объему понятия могут быть совместимыми или несовместимыми. Объемы совместимых понятий совпадают полностью или частично (т.е. существуют объекты, имеющие признаки обоих понятий). Объемы несовместимых понятий не включают ни одного общего элемента.

Отношения совместимых понятий:

  • пересечение (часть элементов объема каждого понятия входит в объем другого понятия); например, «мальчик»–«болельщик»;
  • тождество (полное совпадение объемов понятий);
  • подчинение (объем одного понятия полностью входит в объем другого); например, «акула»–«рыба».

Отношения несовместимых понятий:

  • соподчинение; например, «рыба»–«птица» (соподчинены понятию «животное»);
  • противоположность (объект, не попадающий под одно понятие, может не попадать и под другое); например, «черный»–«белый»;
  • противоречие (объект принадлежит объему либо одного, либо другого понятия); например, «светящийся объект»–«несветящийся объект».

Высказывание

Высказывание (суждение) — форма мышления, в которой что-либо утверждается или отрицается о предметах, их свойствах, или отношениях.
Высказывание характеризуется своим содержанием и формой.

Умозаключение

Умозаключение — форма мышления, посредством которой из одного или нескольких высказываний, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем заключение.

С точки зрения содержания мышление может давать истинное или ложное отражение мира, формально же оно может быть логически правильным или неправильным.

Логические операции

Высказывание, включающее другие высказывания, называют сложным. Для образования сложных высказываний используют логические операции (связки). Рассмотрим некоторые из них (в порядке приоритета при вычислении логических выражений).

Инверсия (отрицание) Инверсия — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда исходное высказывание ложно.
В выражениях обозначается ¬A или A .
Читается «НЕ» (например, «не А»). Конъюнкция (логическое умножение) Конъюнкция — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда истинны оба исходных высказывания.
В выражениях обозначается A ∧ B или A & B (знак может не указываться — AB).
Читается «И» (например, «А и Б») Дизъюнкция (логическое сложение) Дизъюнкция — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда, когда истинно хотя бы одно из исходных высказываний.
В выражениях обозначается A ∨ B, иногда A + B.
Читается «ИЛИ» (например, «А или Б») Импликация (следование) Импликация — это логическая операция, образующая сложное высказывание, ложное тогда и только тогда, когда первое исходное высказывание истинно, а второе — ложно.
В выражениях обозначается A ⇒ B или A → B.
Читается «ЕСЛИ. ТО» (например, «если А, то Б») Эквивалентность (равнозначность) Эквивалентность — это логическая операция, образующая сложное высказывание, истинное тогда и только тогда, когда значения исходных высказываний совпадают.
В выражениях обозначается A ⇔ B или A ≡ B.
Читается «ТОГДА И ТОЛЬКО ТОГДА, КОГДА» (например, «А тогда и только тогда, когда Б»)

Для записи логических функций часто используют таблицы истинности.

Таблица истинности — таблица, в которой указаны значения логической функции для всех возможных комбинаций значений ее аргументов.

Запишем таблицы истинности для логических операций в соответствии с определениями, данными выше.

sites.google.com

Логика. Основные сведения.

1. Элементарные высказывания

1.1. Истинные и ложные высказывания.

Утверждения (они же: высказывания ) об объектах окружающего мира строятся из элементарных высказываний. Такие высказывания утверждают что-то о свойствах объекта или об отношениях между объектами (чаще всего – между двумя объектами).

  1. Забор красный . Здесь забор – объект, а красный описывает его свойство. «красный» (иногда говорят – свойство «быть красным»). Имеется в виду конкретный забор, а не забор вообще! В русском языке свойства часто (но не всегда) выражаются прилагательными.
  2. Коля и Петя – друзья. Здесь Коля и Петя – «объекты», а слово друзья описывает отношение между ними. Это отношение симметрично – смысл сказанного не поменяется, если написать «Петя и Коля – друзья». Здесь, как и во всех элементарных высказываниях, имеются в виду конкретные люди.
  3. Коля старше, чем Петя. Здесь отношение описывается словами «старше, чем». Это отношение не является симметричным.

Высказывание может быть истинным (верным) или ложным (неверным) . Например, Коля может на самом деле быть старше, чем Петя (тогда высказывание 3 истинно). А, может быть, Коля младше Пети, или они одного возраста. Тогда это высказывание ложно.

1.2. Объекты, свойства и отношения в математике.

В математике мы имеем дело с математическими объектами, их свойствами и отношениями. Примеры математических объектов: числа: натуральные, целые, рациональные (они же — обыкновенные дроби), вещественные; точки, прямые, множества. С числами, точками и прямыми вы познакомились на уроках математики. Про множества коротко написано здесь.

Вот примеры свойств, отношений и высказываний для целых чисел (при описании свойств и отношений вместо чисел стоят многоточия…) .

Свойства: … — четное; … — нечетное, … — положительное.

Примеры высказываний: (1) 4 – четное. (2) 4 – нечетное. (3) 4 – положительное. Здесь первое и третье высказывание истинны, а второе – ложно.

Отношение: … больше, чем …; … меньше, чем…; … делится на … .

Примеры высказываний: (1) 4 больше, чем 2. (2) 4 меньше, чем 2. (3) 4 делится на 2. Здесь тоже первое и третье высказывание истинны, а второе – ложно.

В математике отношения часто записываются специальными знаками. Например, 6 n строк. В каждой строке таблицы истинности указывается набор значений переменных и значение функции, соответствующее этому набору. Вот таблицы истинности для выражений x \/ y (таблица 6), x → y (таблица 7) и (x → y) /\ (y → z) (таблица 8).

2.4. Приоритеты логических операций.

При записи логических выражений, как и при записи алгебраических выражений, иногда можно не писать скобки При этом соблюдаются следующие договоренности о старшинстве (приоритете) логических операций, первыми указаны операции, которые выполняются в первую очередь:

конъюнкция (логическое умножение),

дизъюнкция (логическое сложение),

Таким образом, ¬А \/ В \/ С \/ D означает то же, что и ((¬А) \/ В)\/ (С \/ D).

Возможна запись А \/ В \/ С вместо (А \/ В) \/ С. То же относится и к конъюнкции: возможна запись А /\ В /\ С вместо (А /\ В) /\ С.

3. Свойства логических выражений и таблиц истинности.

Приведенный ниже список НЕ претендует на полноту, но, надеемся, достаточно представителен.

3.1. Общие свойства

1) Для n логических переменных существует ровно 2 n различных наборов значений.

2) Таблица истинности для логического выражения от n переменных содержит n+1 столбец (по одному столбцу на каждую переменную + 1 столбец на значение выражения) и 2 n строк (по одной строке на каждый набор значений переменных).

1) Если хоть одно из выражений, к которым применяется дизъюнкция, истинно на некотором наборе значений переменных, то и вся дизъюнкция истинна для этого набора значений.

2) Если все выражения из некоторого списка ложны на некотором наборе значений переменных, то дизъюнкция этих выражений тоже ложна.

3) Значение дизъюнкции не зависит от порядка записи выражений, к которым она применяется.

4) При вычислении дизъюнкции выражений эти выражения можно группировать как угодно — значение дизъюнкции не изменится.

5) Пусть все выражения, к которым применяется дизъюнкция, — это различные переменные или их отрицания. Тогда существует ровно один набор значений переменных, при которых дизъюнкция ложна. Переменная в этом наборе имеет значение 1, если в дизъюнкцию она входит с отрицанием и значение 0 в противном случае.

1) Если хоть одно из выражений, к которым применяется конъюнкция, ложно на некотором наборе значений переменных, то и вся конъюнкция ложна для этого набора значений.

2) Если все выражения из некоторого списка истинны на некотором наборе значений переменных, то конъюнкция этих выражений тоже истинна.

3) Значение конъюнкции не зависит от порядка записи выражений, к которым она применяется.

4) При вычислении конъюнкции выражений эти выражения можно группировать как угодно — значение конъюнкции не изменится.

5) Пусть все выражения, к которым применяется конъюнкция, — это различные переменные или их отрицания. Тогда существует ровно один набор значений переменных, при которых конъюнкция истинна. Переменная в этом наборе имеет значение 1, если в конъюнкцию она входит без отрицания и значение 0 в противном случае.

1) Импликация A →B равносильна дизъюнкции (¬А) \/ В. Эту дизъюнкцию можно записать и так: ¬А \/ В.

2) Импликация A →B принимает значение 0 (ложь) только если A=1 и B=0. Если A=0, то импликация A→B истинна при любом значении B. Если B=1, то импликация A→B истинна при любом значении A.

1) Эквивалентность A ≡ B равносильна конъюнкции двух импликаций: A→B и B→A. Эту конъюнкцию можно записать так: (A→B)/\ (B→A)

2) Эквивалентность A ≡ B принимает значение 1 (истина) тогда и только тогда, когда значения переменных A и B одинаковы, т.е. A=B=1 или A=B=0.

Поэтому эквивалентность A ≡ B равносильна выражению (A/\B) \/ ((¬А) /\ (¬В) ).

3) Эквивалентность A ≡ B принимает значение 0 (ложь) тогда и только тогда, когда значения переменных A и B различны, т.е. A=0, а B=1 или A=1, а B=0. Поэтому эквивалентность A ≡ B равносильна выражению ¬ ( (A/\¬B) \/ (А /\¬В) )

3.6. Построение выражения с заданной таблицей истинности

Для любого множества наборов значений переменных можно построить выражение, которое истинно на всех наборах из заданного множества и только на них. Это выражение удобно записать в виде дизъюнкции конъюнкций, причем в каждой конъюнкции (а) каждый член – это простая переменная или ее отрицание и при этом (б) содержатся все переменные.

Тогда функция F может быть задана таким выражением:

Здесь первый член дизъюнкции соответствует первой строке таблицы фрагмента истинности; второй член – второй строке; третий член – третьей строке.

Таким образом, для любой таблицы истинности можно построить логическое выражение с данной таблицей истинности.

4. Эквивалентные преобразования логических выражений

4.1. Эквивалентные выражения.

Два логических выражения, содержащих переменные, называются равносильными (эквивалентными ), если значения этих выражений совпадают при любых значениях переменных. Так, выражения А → В и (¬А) \/ В равносильны, а А/\В и А \/ В – нет (значения выражений разные, например, при А = 1, В = 0).

Эквивалентные выражения имеют одинаковые таблицы истинности, а у неэквивалентных выражений таблицы истинности различны.

Понятие эквивалентности для логических выражений полностью аналогично понятию эквивалентности для алгебраических выражений.

4.2. Эквивалентные (тождественные) преобразования выражений.

Выяснить, эквивалентны ли два выражения, можно сравнив их таблицы истинности. Но это не всегда удобно: построение таблицы истинности — громоздкая задача. Кроме того, часто нужно не просто проверить, эквивалентны ли два данных логических выражения, а построить для данного выражения эквивалентное ему выражение, имеющее заданный вид. Например, бывает удобно представить выражение в виде дизъюнкции или в виде импликации (см. здесь ). Аналогия для алгебраических выражений: разложить на множители выражение x 2 -y 2 (ответ: (x-y)*(x+y) ).

Замена выражения на другое выражение, эквивалентное ему, называется эквивалентным (синоним: тождественным ) преобразованием.

Основное правило тождественных преобразование — это правило подстановки: если в выражении A заменить подвыражение P на эквивалентное ему выражение Q, то полученное новое выражение B будет эквивалентно исходному выражению A.

Правило подстановки работает и для логических, и для алгебраических выражений.

Пример 1. Рассмотрим выражение A = (x→y)∨z . Заменим подвыражение P = x→y на эквивалентное ему по определению выражение Q = ¬x∨y. Заменяем в A выражение P выражением Q. Получим выражение B = (¬x∨y)∨z. Выражение B эквивалентно выражению A. Учитывая приоритеты выполнения логических операций, выражение B можно записать и так: ¬x∨y∨z.

4.3. Основные логические тождества.

Между решением задач на эквивалентное преобразование логических и алгебраических выражений есть существенная разница. В алгебре есть устоявшийся список тождественных преобразований выражений. В него входят формулы, связанные с определением степени и основными законами сложения и умножения (сочетательный, переместительный, распределительный), а также так называемые формулы сокращенного умножения (квадраты и кубы суммы и разности; разность квадратов, сумма и разность кубов). В курсе логики такого общепринятого списка нет.

В таблице 1 приведен набор логических тождеств (пар эквивалентных логических выражений), которые полезно знать, сдавая ЕГЭ. Это не значит, что другие элементарные тождества вам не понадобится. Мы просто надеемся, что вы сможете при необходимости вывести другие понадобившиеся тождества. Желательно уметь пользоваться этими формулами так же свободно, как, например, алгебраическими формулами сокращенного умножения. Деление формул в таблице на группы – условное и приведено лишь для удобства восприятия.

Примечание. В таблицах использована «алгебро-подобная» система обозначений логических операций. Конъюнкция (логическое умножение) и дизъюнкция (логическое сложение) обозначаются символами «·» и «+» соответственно, а отрицание – чертой сверху. Эти обозначения общеприняты среди инженеров (но не специалистов по математической логике :)) и используются в некоторых школьных учебниках, в частности, в учебниках К.Ю.Полякова и Е.А.Еремина

5. Высказывания о множествах

Логические выражения над элементарными высказываниями о множествах (высказывания вида » A =∅», » xA » » AB » ) можно преобразовывать, используя не только общие правила преобразования логических выражений , но и свои правила, связанные со свойствами операций над множествами. Ниже U — это универсальное множество; x — его произвольный элемент, A, B, X — множества. Верны следующие утверждения.

1. Следующие высказывания эквивалентны, т.е. имеют одинаковые логические значения при любых x, A, B (это обозначено знаком ⇔)

2. Следующие высказывания эквивалентны, т.е. имеют одинаковые логические значения при любых X, A, B (это обозначено знаком ⇔)

3. (а) Пусть AB, т.е. A — подмножество B; x — элемент универсального множества U. Тогда истинно высказывание:

(б) Пусть высказывание ( x ∈ A) → (x∈ B) истинно при любом x ∈ U. Тогда AB.

4. (а) Пусть AB, т.е. A — подмножество B; X ⊆ U — произвольное множества . Тогда истинно высказывание:

(б) Пусть высказывание ( X∩ A ≠Ø ) ( X∩ B ≠Ø ) истинно для любого множества X ⊆ U. Тогда AB.

5. Следующее высказывания истинны для любых множеств A, B, X

6. Примеры эквивалентных преобразований

Первые два примера содержат доказательства свойств импликации из таблицы 1С (см. п.4).

Пример 1 . Преобразуем выражение (¬ y)→ (¬x ) в выражение x→ y. Имеем:

1) (¬ y)(¬(¬x ) ) — замена импликации дизъюнкцией

3) x → y — замена дизъюнкции импликацией

Пример 2 . Преобразуем выражение x → (y→ z ) в выражение ( xy) → z. Имеем:

1) ¬ ( xy)z — замена импликации дизъюнкцией

При анализе высказываний о множествах бывает удобно преобразовывать выражения к импликации, у которой и левый, и правый члены импликации не содержат. Рассмотрим такие примеры.

ege-go.ru

Презентация к уроку по информатике и икт (10 класс) по теме:
Логические законы и правила преобразования логических выражений

Презентация на тему «Логические законы и правила преобразования логических выражений», в которой даны определения логических выражений, основные законов логики.

Предварительный просмотр:

Подписи к слайдам:

Логические законы и правила преобразования логических выражений

Логические выражения называются равносильными , если их истинностные значения совпадают при любых значениях, входящих в них логических переменных. Пример. A  B  C = A  ( B  C )

Законы логики Конъюнкция Дизъюнкция Инверсия закон противоречия закон исключенного третьего закон двойного отрицания

Законы логики Конъюнкция Дизъюнкция закон идемпотентности (равносильности) idem – лат. тот же самый; potens – лат. сильный закон исключения констант

Примеры: 0 1 0    D B ) (     D C C B 1    C B 1   C ) (     C B A A ) (    B B C B 0   B    A A B  B C — тождественно-истинная функция — тождественно-ложная функция

Логические выражения Алгебраические выражения переместительный (коммутативности) закон A  B=B  A A+B=B+A A  B=B  A AB = BA сочетательный (ассоциативности) закон ( A  B )  C = A  ( B  C ) (A+B)+C=A+(B+C) (A  B)  C= A  (B  C) (AB)C=A(BC) распределительный (дистрибутивности) закон (A  B)  C=(A  C)  (B  C) (A+B)C=(AC)+(BC) (A  B)  C=(A  C)  (B  C) аналога нет Законы логики

Законы логики закон инверсии (закон де Моргана)

Законы логики закон исключения (склеивания) закон поглощения

Законы логики з акон контрапозиции (правило перевертывания) Замена операции импликации и эквивалентности — конъюнкцией, дизъюнкцией и инверсией.

Минимизацией функции называется процесс, замены сложной логической функции более простой, но равносильной ей, с помощью законов логики и свойств логических операций.

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Конспект урока может быть использован для изучения темы «Законы логики. Преобразование логических выражений» в 11 классе.

Презентация к уроку.

Урок закрепления умений учащихся в преобразовании логических выражений, подготовка к ЕГЭ, развитие у учащихся логического мышления.

Презентация к уроку информатики 10 класс «Логические законы и правила преобразования логических выражений» используется на уроках изучения нового материала (профильный уровень) по учебнику Угриновича.

Презентация содержит материал, который может быть использован при изучении темы «Законы логики. Преобразование логических выражений». Первые слайды содержат небольшой тест, который позволяет проконтро.

Логические законы и правила преобразования логических выражений.Формализация логических выражений, решение и разбор примеров на применение логических законов и правил.

nsportal.ru

Еще по теме:

  • Справка общий стаж работы образец Зачем нужна справка о трудовом стаже, и как ее подготовить Пока действуют трудовые книжки, их нужно заполнять по инструкции. Если книжка потеряна или испорчена, заполняется дубликат. Но в него тоже нужно вписывать сведения о том, где и кем […]
  • Субсидии на приобретение жилья в 2018 году для многодетных семей Как получить квартиру многодетной семье в 2018 году: льготы и субсидии Семей в России, которые воспитывают трех или более детей, много, и материально родителям становится сложно, надо всех воспитать, накормить, обуть и т.д. А также необходимо […]
  • Увеличение пенсий мвд когда Последние изменения в вопросе предоставления пенсионного обеспечения бывшим сотрудникам МВД Начало нового года всегда таит в себе ожидание каких либо изменений. Многие граждане нашей страны, которые получают военные пенсии, интересуются последними […]
  • Оформить спонсорское письмо Спонсорское письмо для оформления визы: когда оно требуется и как его написать? При въезде в большинство европейских стран туристы обязаны оформить шенгенскую визу. Для этого требуется представить определенный комплект документов. Один из важных […]
  • Образец заявление на возврат ндфл за лечение Правила и порядок оформления заявления на возврат НДФЛ в 2018 году Все физические лица в нашем государстве обязаны платить специальные сборы в местные бюджеты со своих доходов. Данный сбор называется НДФЛ (налог на доход физического лица). Но […]
  • Образец приказ на списание материалов Образец приказа на списание материальных ценностей На всех организациях или предприятиях числятся какие-либо материальный ценности, которые с течением времени или же другими обстоятельствами приходится списывать с остатка. Подобная процедура имеет […]