Закон сохранения механической энергии для консервативной системы

Конспект лекций

Загрузить всю книгу

§20. Закон сохранения энергии

Рассмотрим систему, состоящую из N взаимодействующих друг с другом частиц. На частицы системы действуют внутренние консервативные силы, внешние консервативные силы и внешние неконсервативные силы.

.

Полная работа всех, действующих на систему частиц сил, равна сумме работ этих сил:

.

Работа результирующей всех сил, действующих на частицы системы, равна приращению кинетической энергии системы:

.

Работа внешних и внутренних консервативных сил равна убыли потенциальной энергии системы во внешнем силовом поле:

.

Работу неконсервативных сил обозначим -А * 12, подставив в (20.2.) формулы (20.3.) и (20.4.), получим:

.

Перегруппируем слагаемые этого выражения так:

.

Сумма кинетической и потенциальной энергий равна полной механической энергии системы в некотором состоянии. Обозначим через:

и , где W₁ и W₂-соответственно начальное и конечное значения полной механической энергии. Формула (20.6.) теперь примет вид:

.

Работа неконсервативных сил равна приращению полной механической энергии системы.

Если неконсервативные силы отсутствуют, то полная механическая энергия системы остается постоянной.

.

Это утверждение носит название закона сохранения механической энергии. Он читается так:

Полная механическая энергия системы материальных точек, находящихся под действием только консервативных сил, остается постоянной.

Если система замкнута и силы взаимодействия между частицами консервативны, то полная механическая энергия сохраняется. В основе закона сохранения механической энергии лежит однородность времени, т.е. равнозначность всех моментов времени.

edu.tltsu.ru

Закон сохранения механической энергии для консервативной системы

Полной механической энергие й называют сумму потенциальной и кинетической энергий.

Рассмотрим три случая, наиболее часто встречающиеся на практике.

1. Пусть имеем замкнутую систему материальных точек (тел), между которыми действуют консервативные силы.

Как было получено выше, механическая работа может быть совершена как за счет изменения кинетической энергии, так и за счет убыли потенциальной энергии. Действительно работа на участке пути S ₁₂

Анализируя полученные результаты, получаем D W ₌ D W_p + D W_k = 0

В последнем равенстве слева и справа — полная механическая энергия тел в первом и втором состояниях, соответственно. Распространив полученный результат на произвольное число состояний, получим закон сохранения механической энергии:

В изолированной системе, в которой между телами действуют консервативные силы, полная механическая энергия не изменяется.

Возможен лишь переход потенциальной энергии в кинетическую и обратно — кинетической энергии в потенциальную в равных количествах.

2. Пусть на систему материальных точек (тел), кроме внутренних консервативных сил, действуют внешние силы, т.е. система не замкнута.

В этом случае полную работу, совершаемую всеми силами приложенными к i-й м.т. можно представить как алгебраическую сумму работ внутренних и внешних, т.е. , где A_i — работа, совершаемая всеми внутренними силами над i-й м.т., — работа всех внешних сил над i-й м.т.

Полную работу найдем в виде

.

С другой стороны

Используя последние соотношения, получаем

.

Вывод : Изменение полной механической энергии системы м.т. (тел), между которыми действуют внутренние консервативные силы, равно работе внешних сил, приложенных к системе м.т.

3 . В замкнутой системе, содержащей N м.т.(тел), кроме консервативных сил, действуют диссипативные силы (например, силы трения, силы сопротивления).

Полная работа всех сил

А = А конс + А дисс .

Работа всех внутренних консервативных сил равна убыли потенциальной энергии:

Полная работа совершается за счет изменения кинетической энергии:

Из полученных последних трех выражений имеем

D W_k = — D W_p + А дисс или D W = D W_k + D W_p = А дисс

Вывод: Если в замкнутой системе м. т. действуют внутренние консервативные и диссипативные силы, то полная механическая энергия убывает.

Закон сохранения механической энергии не выполняется, но выполняется всеобщий закон сохранения энергии, т.е. полная механическая энергия переходит в другие виды энергии.

Например, при трении выделяется тепло, значит, механическая энергия перешла во внутреннюю.

Замечание : Случай 3 приводит к диссипации энергии.

files.lib.sfu-kras.ru

Объединение учителей Санкт-Петербурга

Основные ссылки

Закон сохранения энергии.

Закон сохранения механической энергии.

Сумма кинетической и потенциальной энергий системы тел называется полной механической энергиейсистемы.

E = E_p + E_k

Учитывая, что при совершении работы A = ΔE_k и, одновременно, A = — ΔE_p, получим: ΔE_k = — ΔE_p или Δ(E_k + E_p)=0 — изменение суммы кинетической и потенциальной энергий (т.е. изменение полной механической энергии) системы равно нулю.

Значит, полная энергия системы остается постоянной:

E = E_p + E_k = const. В замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, механическая энергия сохраняется. (Или: полная механическая энергия системы тел, взаимодействующих силами упругости и гравитации, остается неизменной при любых взаимодействиях внутри этой системы).

E = E_p + E_k = const

Например, для тела, движущегося под действием силы тяжести (падение; тело, брошенное под углом к горизонту, вертикально вверх или движущееся по наклонной плоскости без трения): .

Работа силы трения и механическая энергия.

Если в системе действуют силы трения (сопротивления), которые не являются консервативными, то энергия не сохраняется. При этом E₁ — E₂ = A_тр. Т.е. изменение полной механической энергии системы тел равно работе сил трения (сопротивления) в этой системе. Энергия изменяется, расходуется, поэтому такие силы наз.диссипативными (диссипация — рассеяние).

E₁ — E₂ = A_тр

Т.о. механическая энергия может превращаться в другие виды энергии, напр., во внутреннюю(деформация взаимодействующих тел, нагревание).

Столкновения тел.

З-н сохранения и превращения механической энергии применяется, например, при изучении столкновений тел. При этом он выполняется в системе с з-ном сохранения импульса. Если движение происходит так, что потенциальная энергия системы остается неизменной, то может сохраняться кинетическая энергия.

Удар, при котором сохраняется механическая энергия системы, наз. абсолютно упругим ударом.

Удар, при котором тела движутся после столкновения вместе, с одинаковой скоростью, наз. абсолютно неупругим ударом (при этом механическая энергия не сохраняется).

Удар, при котором тела до соударения движутся по прямой, проходящей через их центр масс, наз. центральным ударом.

www.eduspb.com

Закон сохранения механической энергии для консервативной системы

1.20. Закон сохранения механической энергии

Если тела, составляющие замкнутую механическую систему , взаимодействуют между собой только посредством сил тяготения и упругости, то работа этих сил равна изменению потенциальной энергии тел, взятому с противоположным знаком:

По теореме о кинетической энергии эта работа равна изменению кинетической энергии тел (см. §1.19):

или

Сумма кинетической и потенциальной энергии тел, составляющих замкнутую систему и взаимодействующих между собой посредством сил тяготения и сил упругости, остается неизменной.

Это утверждение выражает закон сохранения энергии в механических процессах . Он является следствием законов Ньютона. Сумму E = E _k + E _p называют полной механической энергией . Закон сохранения механической энергии выполняется только тогда, когда тела в замкнутой системе взаимодействуют между собой консервативными силами, то есть силами, для которых можно ввести понятие потенциальной энергии.

Пример применения закона сохранения энергии – нахождение минимальной прочности легкой нерастяжимой нити, удерживающей тело массой m при его вращении в вертикальной плоскости (задача Х. Гюйгенса). Рис. 1.20.1 поясняет решение этой задачи.

Закон сохранения энергии для тела в верхней и нижней точках траектории записывается в виде:

Обратим внимание на то, что сила натяжения нити всегда перпендикулярна скорости тела; поэтому она не совершает работы.

При минимальной скорости вращения натяжение нити в верхней точке равно нулю и, следовательно, центростремительное ускорение телу в верхней точке сообщается только силой тяжести:

Из этих соотношений следует:

Центростремительное ускорение в нижней точке создается силами и направленными в противоположные стороны:

Отсюда следует, что при минимальной скорости тела в верхней точке натяжение нити в нижней точке будет по модулю равно

Прочность нити должна, очевидно, превышать это значение.

Очень важно отметить, что закон сохранения механической энергии позволил получить связь между координатами и скоростями тела в двух разных точках траектории без анализа закона движения тела во всех промежуточных точках. Применение закона сохранения механической энергии может в значительной степени упростить решение многих задач.

В реальных условиях практически всегда на движущиеся тела наряду с силами тяготения, силами упругости и другими консервативными силами действуют силы трения или силы сопротивления среды.

Сила трения не является консервативной. Работа силы трения зависит от длины пути.

Если между телами, составляющими замкнутую систему, действуют силы трения, то механическая энергия не сохраняется . Часть механической энергии превращается во внутреннюю энергию тел (нагревание).

При любых физических взаимодействиях энергия не возникает и не исчезает. Она лишь превращается из одной формы в другую.

Этот экспериментально установленный факт выражает фундаментальный закон природы – закон сохранения и превращения энергии .

Одним из следствий закона сохранения и превращения энергии является утверждение о невозможности создания «вечного двигателя» (perpetuum mobile) – машины, которая могла бы неопределенно долго совершать работу, не расходуя при этом энергии (рис. 1.20.2).

История хранит немалое число проектов «вечного двигателя». В некоторых из них ошибки «изобретателя» очевидны, в других эти ошибки замаскированы сложной конструкцией прибора, и бывает очень непросто понять, почему эта машина не будет работать. Бесплодные попытки создания «вечного двигателя» продолжаются и в наше время. Все эти попытки обречены на неудачу, так как закон сохранения и превращения энергии «запрещает» получение работы без затраты энергии.

physics.ru

6.5. Закон сохранения энергии системы материальных точек (тел)

При рассмотрении закона сохранения энергии материальной точки предполагалось, что материальная точка движется в стационарном силовом поле. Силовое поле, в котором движется материальная частица, возникает благодаря наличию других тел. Чтобы силовое поле было стационарным – не зависящем от времени, тела, создающие это поле должны быть неподвижны. Таким образом, рассмотренный закон сохранения полной механической энергии относится к случаю: одна материальная точка (тело) движется, а остальные – покоятся.

Рис. 6.3

формулируем закон сохранения полной механической энергии в общем случае, когда имеется несколько движущихся материальных точек (тел) – система тел (материальных точек).

Рассмотрим замкнутую систему из n тел, между которыми действуют только консервативные силы (рис. 6.3).

Под действием этих сил тела внутри системы перемещаются, меняется их скорость и положение, т.е. меняются кинетическая и потенциальная энергии каждого тела и системы в целом.

Запишем второй закон Ньютона для каждого тела:

(6.15)

Под действием сил тела системы совершают перемещения . Умножим каждое уравнение на соответствующее перемещение. Учитывая, что, получим

Сложив эти уравнения, получим

,

(6.16)

Первый член левой части равенства

, (6.17)

где – приращение кинетической энергии системы. Второй член– элементарная работа, совершенная телами системы.

Так как для каждой материальной точки системы , то, где– приращение потенциальной энергии системы материальных точек, тооткуда

. (6.18)

Выражение (6.18) представляет собой закон сохранения механической энергии: полная механическая энергия замкнутой системы, в которой действуют только консервативные силы, сохраняется, т.е. не изменяется со временем.Может происходить лишь превращение кинетической энергии в потенциальную и обратно, причем приращение одной из них в точности равно убыли другой.

Сформулируем закон изменения полной механической энергии системы. Пусть система материальных точек (тел) не является замкнутой. На материальные точки кроме внутренних консервативных сил, действуют любые другие силы, которые будем называть сторонними. Отнесем к сторонним силам все внешние силы (силы со стороны тел не входящих в систему), а также все диссипативные силы (силы трения, силы сопротивления), как внутренние, так и внешние. Таким образом, сторонними силами будем называть все силы, кроме внутренних консервативных сил.

Если система материальных точек перешла из произвольного начального положения 1 в произвольное конечное положение 2, то согласно теореме о кинетической энергии, работа всех приложенных к материальным точкам сил равна приращению их кинетических энергий. И следовательно, работа всех сил действующих на систему и внутри системы равна приращению кинетической энергии системы материальных точек: , гдеи– кинетическая энергия системы материальных точек в конечном и начальном состоянии соответственно.

Представим работу как сумму работыконсервативных внутренних сил и работывсех сторонних сил:. Учтем свойство потенциальной энергии системы, согласно которому работа консервативных сил равна убыли потенциальной энергии:.

Так как , с другой стороны, то. Приравняв выражения, получим, гдеЕ₂ и Е₁ – полная механическая энергия системы материальных точек в положениях 2 и 1 соответственно.

Таким образом, работа сторонних сил при переходе системы материальных точек (тел) из произвольного начального положения в произвольное конечное положение равна приращению полной механической энергии системы:

. (6.19)

Если в замкнутой системе кроме консервативных сил действуют еще диссипативные силы, например, сила трения, то полная механическая энергия не сохраняется (часть механической энергии превращается в тепло). В этом случае выполняется общефизический закон сохранения энергии: энергия никогда не создается и не уничтожается, она может только переходить из одной формы в другую.

С помощью законов сохранения импульса и энергии исследуем движение сталкивающихся тел.

studfiles.net