Закон равномерной плотности. Нормальный закон распределения.
Страницы работы
Содержание работы
Рассмотрим некоторые конкретные законы распределения случайных величин, имеющих плотность вероятности.
Закон равномерной плотности.
Предположим, что о некоторой случайной величине x заранее известно, что она попадает в определенный интервал оси Ox [a,b], причем все значения x в этом интервале одинаково вероятны (обладают одной и той же плотностью вероятности, f(x) = const). Тогда говорят, что случайная величина x распределена по закону равномерной плотности: 
Постоянная С определяется из условия нормировки: 
откуда получаем уравнение: 
. Итак, равномерная плотность имеет вид: 
Это двухпараметрическое распределение с двумя параметрами a и b
Нарисуем график такой плотности вероятности.
Легко строится функция распределения F(x):
Функция распределения F(x) имеет кусочно-линейный вид.
Нарисуем ее график. Функция распределения F(x) позволяет вычислять вероятности попадания равномерно распределенной случайной величины x в тот или иной интервал числовой оси Ox.
Найдем математическое ожидание 
. Имеем 
Медиана 
равномерного распределения равна этой же величине:
Найдем дисперсию равномерного 
распределения:
Итак, для равномерного распределения дисперсия 
Можно еще рассмотреть стандартно распределенную равномерную случайную величину x. Для нее a=0, b=1. Следовательно, эта величина равномерно распределена на отрезке [0,1]. Математическое ожидание такой величины равно 0.5, а дисперсия равна.
Стандартная случайная величина x, равномерно распределенная на отрезке [0,1], наиболее часто применяется в различных теоретико-вероятностных расчетах.
Нормальный закон распределения.
Случайная величина x называется распределенной по нормальному закону, если ее плотность вероятности f(x) имеет вид:
. Другое употребительное название такой плотности – гауссова функция ошибок. Коротко записывают еще и так: 
Это означает, что плотность вероятности случайной величины x имеет вид:.Это двухпараметрическое распределение, с двумя параметрами: a и s.Для этой плотности, величина s должна быть положительной, иначе функция f(x) окажется отрицательной и не сможет быть плотностью вероятности. Аналогичного ограничения на величину a наложить нельзя, она пока может быть произвольной. Для более полного уточнения условий, которые надо наложить на оба эти параметра, рассмотрим выполнение условия нормировки плотности:? Имеем в случае нормального закона 
Условие нормировки выполнено, причем никаких других ограничений на величины s и a накладывать не надо, плотность нормального закона будет автоматически нормированной при s > 0, a — любая конечная величина.
Найдем математическое ожидание и дисперсию нормально распределенной случайной величины x.
Имеем 
=
Оказывается, параметр распределения a в нормальном законе означает математическое ожидание случайной величины.
Для дисперсии: 
=
.
Дисперсия нормального закона распределения оказалась равной другому параметру распределения: . Следовательно, параметр s является среднеквадратичным отклонением для нормально распределенной случайной величины x.
В частном случае, когда a = 0, s =s 2 =1, получаем плотность так называемого стандартного нормального закона с плотностью вероятности 
. Нарисуем график функции(шапочка), отметим точку экстремума и две точки перегиба с абсциссами x=±1. Говоря другими словами, точка перегиба стандартной плотности нормального закона находится на расстоянии от оси Oy, равном единице, то есть равном среднеквадратичному отклонению s = 1.
График плотности вероятности в общем случае (при произвольных a и s), то есть график функции выглядит аналогично: это «шапочка» с точкой максимума при x=a и двумя точками перегиба при x = a- s и x= a+ s. Можно сказать так, что расстояние между точками перегиба на графике нормальной плотности вероятности равно удвоенному среднеквадратичному отклонению 2s. Это свойство позволяет иногда находить среднеквадратичное отклонение s в нормальном законе геометрическим методом, находя расстояние между точками перегиба на графике плотности вероятности, и приравнивая его 2s, находить само s.
Рассмотрим теперь функцию распределения F(x) для нормального закона. Имеем по определению 
Итак, функция распределения нормального закона F(x) выражается через вспомогательную функцию F0(x): 
, причем фактически функция F0(x) является функцией распределения стандартного нормального закона с математическим ожиданием 0 и дисперсией, равной 1.
Функция F0(x) табулирована и приводится во многих учебниках и математических монографиях по теории вероятностей и математической статистике.
В некоторых случаях вместо функции распределения F0(x) используется функция Лапласа 
. Можно видеть, что имеет место равенство:
. Функция Лапласа Ф(x) является нечетной функцией аргумента x, поэтому ее табулируют только на полуинтервале от x = 0 и до x= +¥ (обычно – до x=5).
Выразим вероятность произвольного случайного события, связанного с нормально распределенной случайной величиной, через функцию Лапласа:
Пример. Правили «трех сигм» для нормально распределенной случайной величины.
Рассмотрим вероятность случайного события 
Получается, что нормально распределенная случайная величина с большой вероятностью 0,9973 попадает в интервал шириной 6s, центром которого является математическое ожидание a, а во внешность этого интервала попадает с вероятностью 0,0073. Эта вероятность сама по себе очень мала, она значительно меньше 
, как это имело место в неравенстве Чебышева для произвольной случайной величины, имеющей конечную дисперсию. Появление дополнительной информации о случайной величине (о том, что случайная величина x нормально распределена) существенно суживает интервал «правила трех сигм».
vunivere.ru
Равномерный закон распределения. Примеры
Целочисленных случайная величина Х имеет равномерный закон распределения, если вероятности ее возможных значений одинакова от эксперимента к эксперименту и вычисляются формуле 
В табличной форме записи равномерный закон распределения имеет вид: 
Условие нормировки для равномерного закона распределения имеет вид
Вероятностная образующая функция на основе первой формулы принимает значение
Числовые характеристики равномерного закона находим на основе образующей функции
1. Математическое ожидание находим по формуле
При х = 1 получаем неопределенность 
которую раскрываем по правилу Лопиталя
При х = 1 нова имеем неопределенность вида 
которую также раскрываем по правилу Лопиталя
Вычисление заняли богатая времени, однако формула для математического ожидания получилась довольно легкой.
2. Выполнив подобные, но более громоздкие преобразования, дисперсию и среднее математическое отклонение находим по формулам
3. Для равномерного распределения вероятностей асимметрия и эксцесс равны нулю
Есть и другое определение, согласно которому функция имеет равномерное распределение, если некотором интервале плотность вероятностей принимает постоянное значение
Функция распределения вероятностей для равномерного закона определяется интегрированием
Математическое ожидание в таких случаях определяют зависимости
дисперсию по формуле
и среднее квадратическое отклонение через корень
Вероятность попадания случайной величины Х в некоторый интервал 
, содержащийся внутри интервала 
определяется по формуле
Приведенные формулы часто являются применимыми на практике чем те, которые были даны выше.
Рассмотрим примеры отыскания числовых характеристик.
Пример 1. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение М (Х), D (X), S (Х), Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение Х имеет равномерный закон распределения и возможные значения ее значение лежит в диапазоне 1..50:
.
Решение. По условию задачи имеем следующие данные n = 50, p = 1/50=0,02.
Согласно формулам вычисляем математическое ожидание
среднее квадратическое отклонение
Пример 2. Поезда в метро прибывают на станцию ??каждые 10 минут. Определить вероятность того, что время ожидания состава не будет больше 4 минуты.
Решение. По условию задачи имеем два интервала
Согласно формуле, искомая вероятность равна доле этих величин
Задачи на отыскание интервала попадания случайной величины, распределена по ривнимирним законом решайте по такой же схеме. Она проста и не требует сложных вычислений.
yukhym.com
Закон равномерной плотности;
Простейшие законы распределения.
При решении эконометрических задач приходится сталкиваться с различными распределениями случайных величин. Рассмотрим наиболее часто встречающиеся законы распределения.
На практике встречаются непрерывные случайные величины, о которых заранее известно, что их возможные значения лежат в пределах некоторого определенного интервала. Кроме того, известно, что в пределах этого интервала все значения случайной величины одинаково вероятны (точнее, обладают одной и той же плотностью вероятности). О таких случайных величинах говорят, что они распределяются по закону равномерной плотности.
Например, пусть поезда метрополитена идут с интервалом 4 мин. Пассажир выходит на платформу в некоторый момент времени. Время Т, в течение которого ему придется ждать поезда, представляет собой величину, распределенную с равномерной плотностью на участке [0 — 4] минут.
Плотность распределения для случайной величины X, распределенной на участке [а,b] по закону равномерной плотности, выражается соотношением:
Функция распределения F(x) имеет вид:
Определим основные числовые характеристики равномерного закона. Математическое ожидание
В силу симметричности равномерного распределения медиана величины Х также равна
Моды закон равномерной плотности не имеет.
Дисперсия и среднее квадратическое отклонение определяются формулами:
В силу симметричности распределения его асимметрия равна нулю.
2. Биномиальный закон. Закон Пуассона
Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х — числа появлений события в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна р (вероятность непоявления события также постоянна и равна q=1 — р). При этом вероятность возможного значения X = m, где m — число появлений события в n испытаниях, вычисляется по формуле Бернулли:
Здесь — число сочетаний из п элементов по m элементов.
Если в условиях биномиального закона число испытаний п велико, а вероятность р появления события в каждом испытании мала, то
где т — число появлений события в п независимых испытаниях; а = пр.
В этом случае говорят, что дискретная случайная величина распределена по закону Пуассона.
Для закона Пуассона справедливо соотношение mx = σx 2 = a
Типичная задача, приводящая к распределению Пуассона, заключается в следующем. Пусть на оси х случайным образом распределяются точки. Допустим, что случайное распределение точек удовлетворяет следующим условиям:
1. Вероятность попадания того или иного числа точек на отрезок ∆х зависит только от длины этого отрезка, но не зависит от его положения на оси, то есть точки распределены на оси с одинаковой средней плотностью (интенсивностью) λ (математическое ожидание числа точек, приходящихся на единицу длины, равно λ).
2. Точки распределяются на оси независимо друг от друга, то есть вероятность попадания того или иного числа точек на заданный отрезок не зависит от того, сколько их попало на любой другой отрезок, не перекрывающийся с ним.
3. Вероятность попадания на малый участок ∆х двух или более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки (это условие означает практическую невозможность совпадения двух или более точек).
Исходя из этих условий можно доказать, что число точек, попадающих на заданный отрезок длины ∆х на оси х, подчиняется закону распределения Пуассона, где а = λ∆х. Величина а по смыслу представляет собой среднее число точек, приходящееся на отрезок ∆х.
Распределение Пуассона возникает там, где какие-то точки (или другие элементы) занимают случайное положение независимо друг от друга, и подсчитывается количество этих точек, попавших в заданную область.
Закон Пуассона часто называют, законом редких явлений из-за свойства выражать биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события.
На практике часто при решении вопроса о принятии закона Пуассона для описания какой-то случайной величины определяют из опыта ее математическое ожидание и дисперсию. Если их значения близки, то это может служить в пользу гипотезы о пуассоновском распределении. Резкое различие этих характеристик, напротив, свидетельствует против этой гипотезы.
Пример.Брокеру поступают заявки на операции с ценными бумагами со средней плотностью 15 заявок в час. Определить вероятность того, что за две минуты брокеру поступит: 1) ровно три заявки; 2) хотя бы одна заявка.
Решение.Считаем, что число заявок на любом участке времени распределено по закону Пуассона.
Среднее число заявок за две минуты a = 2 · 15 / 60 = 0,5.
Тогда вероятность поступления ровно трех заявок равна
Вероятность того, что поступит хотя бы одна заявка за две минуты, равна
studopedia.su
Математика и информатика. Учебное пособие по всему курсу
Загрузить всю книгу 
5.3.3. Равномерный и нормальный законы распределения непрерывных случайных величин
На практике приходится при решении задач сталкиваться с различными распределениями непрерывных случайных величин. Плотность распределения f(x) непрерывной случайной величины называют законом распределения.
Следует рассмотреть некоторые важные для практики распределения случайных величин и соответствующие им числовые характеристики.
Непрерывная случайная величина X называется распределенной равномерно на отрезке [a,b], если её плотность распределения вероятностей постоянна на данном отрезке:
.
Функция распределения в этом случае согласно (5.7), примет вид:
.
1. Математическое ожидание по формуле (5.11):
.
.
Найти дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины X , равномерно распределенной на интервале (2;6).
.
.
Среднее квадратическое отклонение:
Это распределение реализуется, например, в экспериментах, в которых наудачу ставится точка на интервале [ a , b ], при этом случайная величина X – абсцисса поставленной точки.
Вероятность попадания равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х на интервале [ a , b ], определяется по формуле (5.9а).
Примером равномерно распределенной непрерывной случайной величины Х является ошибка при округлении отсчета до ближайшего целого деления шкалы измерительного прибора, проградуированной в некоторых единицах.
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляют до ближайшего деления. Найти вероятность того, что ошибка отсчета: а) превысит значение 0,04; б) меньше 0,04.
Ошибку округления отсчета можно рассматривать как случайную величину Х, которая распределена равномерно в интервале между двумя соседними делениями. Плотность равномерного распределения по формуле (5.14) равна:
,
где (b – a) – длина интервала, в котором заключены возможные значения Х.
Вне этого интервала f (x) = 0. В рассматриваемой задаче длина интервала, в котором заключены возможные значения Х, равна 0,2. Поэтому плотность распределения вероятностей равна:
.
Тогда ошибка отсчета превысит значение 0,04, если она будет заключена в интервале (0,04; 0,2). По формуле (5.9а) вычисляется вероятность того, что при отсчете будет сделана ошибка превышающая значение 0,04:
.
Ошибка отсчета меньше 0,04 будет заключена в интервале (0; 0,04) с вероятностью:
.
Рис. 5.3. Плотность распределения вероятностей случайной величины, равномерно распределённой на отрезке [a;b]
Непрерывная случайная величина x имеет нормальльное распределение с параметрами: m, s > 0, если плотность распределения вероятностей имеет вид:
edu.tltsu.ru
Равномерное распределение вероятностей
Простейшее из непрерывных распределений, с помощью которого моделируются многие реальные процессы. И самый такой распространённый пример – это график движения общественного транспорта. Предположим, что некий автобус (троллейбус / трамвай) ходит с интервалом в 10 минут, и вы в случайный момент времени подошли к остановке. Какова вероятность того, что автобус подойдёт в течение 1 минуты? Очевидно, 1/10-я. А вероятность того, что придётся ждать 4-5 минут? Тоже 
. А вероятность того, что автобус придётся ждать более 9 минут? Одна десятая!
Рассмотрим некоторый конечный промежуток, пусть для определённости это будет отрезок 
. Если случайная величина 
обладает постоянной плотностью распределения вероятностей на данном отрезке и нулевой плотностью вне него, то говорят, что она распределена равномерно. При этом функция плотности будет строго определённой: 
И в самом деле, если длина отрезка (см. чертёж) составляет 
, то значение 
неизбежно равно 
– дабы получилась единичная площадь прямоугольника, и было соблюдено известное свойство: 
Проверим его формально: 
, ч.т.п. С вероятностной точки зрения это означает, что случайная величина 
достоверно примет одно из значений отрезка 
…, эх, становлюсь потихоньку занудным старикашкой =)
Суть равномерности состоит в том, что какой бы внутренний промежуток фиксированной длины 
мы ни рассмотрели (вспоминаем «автобусные» минуты) – вероятность того, что случайная величина 
примет значение из этого промежутка будет одной и той же. На чертеже я заштриховал троечку таких вероятностей – ещё раз заостряю внимание, что они определяются площадями, а не значениями функции 
!
Рассмотрим типовое задание:
Непрерывная случайная величина 
задана своей плотностью распределения: 
Найти константу 
, вычислить 
и составить функцию распределения. Построить графики 
. Найти 
Иными словами, всё, о чём только можно было мечтать 🙂
Решение: так как на интервале 
(конечном промежутке) 
, то случайная величина 
имеет равномерное распределение, и значение «цэ» можно отыскать по прямой формуле 
. Но лучше общим способом – с помощью свойства: 
…почему лучше? Чтобы не было лишних вопросов 😉
Таким образом, функция плотности: 
Выполним чертёж. Значения 
невозможны, и поэтому жирные точки ставятся внизу: 
В качестве экспресс-проверки вычислим площадь прямоугольника: 
, ч.т.п.
Найдём математическое ожидание, и, наверное, вы уже догадываетесь, чему оно равно. Вспоминаем «10-минутный» автобус: если случайным образом подходить к остановке много-много дней упаси, то в среднем его придётся ждать 5 минут.
Да, именно так – матожидание должно находиться ровно посерединке «событийного» промежутка: 
, как и предполагалось.
Дисперсию вычислим по формуле 
. И вот тут нужен глаз да глаз при вычислении интеграла: 
Таким образом, дисперсия: 
Составим функцию распределения 
. Здесь ничего нового:
1) если 
, то 
и 
;
2) если 
, то 
и: 
3) и, наконец, при 
, поэтому: 
В результате: 
Выполним чертёж: 
На «живом» промежутке функция распределения растёт линейно, и это ещё один признак, что перед нами равномерно распределённая случайная величина. Ну, ещё бы, ведь производная линейной функции – есть константа.
Требуемую вероятность можно вычислить двумя способами, с помощью найденной функции распределения: 
либо с помощью определённого интеграла от плотности: 
Кому как нравится.
И здесь ещё можно записать ответ: 
, 
, графики 
построены по ходу решения.
…«можно», потому что за его отсутствие обычно не карают. Обычно 😉
Для вычисления 
и 
равномерной случайной величины существуют специальные формулы, которые я предлагаю вам вывести самостоятельно:
Непрерывная случайная величина 
задана плотностью 
.
Вычислить математическое ожидание и дисперсию. Результаты максимально упростить (формулы сокращённого умножения в помощь).
Полученные формулы удобно использовать для проверки, в частности, проверьте только что прорешанную задачу, подставив в них конкретные значения «а» и «б». Краткое решение внизу страницы.
И в заключение урока мы разберём парочку «текстовых» задач:
Цена деления шкалы измерительного прибора равна 0,2. Показания прибора округляются до ближайшего целого деления. Считая, что погрешности округлений распределены равномерно, найти вероятность того, что при очередном измерении она не превзойдёт 0,04.
Для лучшего понимания решения представим, что это какой-нибудь механический прибор со стрелкой, например, весы с ценой деления 0,2 кг, и нам предстоит взвесить кота в мешке. Но не в целях выяснить его упитанность – сейчас будет важно, ГДЕ между двумя соседними делениями остановится стрелка.
Рассмотрим случайную величину 
– расстояние стрелки от ближайшего левого деления. Или от ближайшего правого, это не принципиально.
Составим функцию плотности распределения вероятностей:
1) Так как расстояние не может быть отрицательным, то на интервале 
. Логично.
2) Из условия следует, что стрелка весов с равной вероятностью может остановиться в любом месте между делениями*, включая сами деления, и поэтому на промежутке 
:
* Это существенное условие. Так, например, при взвешивании кусков ваты или килограммовых пачек соли равномерность будет соблюдаться на куда более узких промежутках.
3) И поскольку расстояние от БЛИЖАЙШЕГО левого деления не может быть больше, чем 0,2, то при 
тоже равна нулю.
Таким образом: 
Следует отметить, что о функции плотности нас никто не спрашивал, и её полное построения я привёл исключительно в познавательных цепях. При чистовом оформлении задачи достаточно записать только 2-й пункт.
Теперь ответим на вопрос задачи. Когда погрешность округления до ближайшего деления не превзойдёт 0,04? Это произойдёт тогда, когда стрелка остановится не далее чем на 0,04 от левого деления справа или не далее чем на 0,04 от правого деления слева. На чертеже я заштриховал соответствующие площади: 
Осталось найти эти площади с помощью интегралов. В принципе, их можно вычислить и «по-школьному» (как площади прямоугольников), но простота не всегда находит понимание 😉
По теореме сложения вероятностей несовместных событий: 
– вероятность того, что ошибка округления не превзойдёт 0,04 (40 грамм для нашего примера)
Легко видеть, что максимально возможная погрешность округления составляет 0,1 (100 грамм) и поэтому вероятность того, что ошибка округления не превзойдёт 0,1 равна единице.
Ответ: 0,4
В других источниках информации встречаются альтернативные объяснения / оформление этой задачи, и я выбрал вариант, который показался мне наиболее понятным. Особое внимание нужно обратить на то, что в условии речь может идти о погрешностях НЕ округлений, а о случайных погрешностях измерений, которые, как правило (но не всегда), распределены по нормальному закону. Таким образом, всего лишь одно слово может в корне изменить решение! Будьте начеку и вникайте в смысл.
И коль скоро всё идёт по кругу, то ноги нас приносят на ту же автобусную остановку:
Автобусы некоторого маршрута идут строго по расписанию и интервалом 7 минут. Составить функцию плотности случайной величины 
– времени ожидании очередного автобуса пассажиром, который наудачу подошёл к остановке. Найти вероятность того, что он будет ждать автобус не более трёх минут. Найти функцию распределения 
и пояснить её содержательный смысл.
Несмотря на то, что время не может быть отрицательным, интервал 
не имеет особого смысла исключать из рассмотрения, ибо противоречия тут нет – вероятность того, что случайная величина 
примет невозможное значение, равно нулю.
Краткое решение и ответ в конце урока. Дополнительные задачи с равномерным распределением можно найти в тематическом решебнике.
И не успел никто опомниться, как подошёл очередной автобус, который отвезёт нас до остановки Показательное распределение и конечной под названием Нормальное распределение вероятностей.
Решения и ответы:
Пример 2. Решение: вычислим математическое ожидание: 
Дисперсию вычислим по формуле 
. 
Таким образом: 
Ответ: 
Пример 4. Решение: случайная величина 
имеет равномерное распределение с плотностью: 
Вычислим вероятность того, что пассажир будет ожидать автобус не более 3 минут: 
Составим функцию распределения 
:
1) если 
, то 
и 
;
2) если 
, то 
и 
;
3) если 
, то 
, и 
.
Таким образом: 
Функция 
описывает вероятность того, что пассажир дождётся очередной автобус за время, МЕНЬШЕЕ, чем 
. При увеличении 
от 0 до 7 эта вероятность линейно возрастает на 
в минуту и по достижению 
достоверным становится тот факт, пассажир автобуса дождался.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
Качественные работы без плагиата – Zaochnik.com
mathprofi.ru