Закон гука на растяжение

Закон Гука формула. Модуль Юнга

Для большинства конструкционных материалов между напряжением () и продольной деформацией () до определенного предела нагружения существует линейная зависимость

Закон Гука : Напряжение пропорционально деформации.

Впервые Закон Гука был опубликован в виде анаграммы английским ученым Робертом Гуком (1635 – 1703 гг.). При правильной расстановке букв анаграмма читается: «Каково удлинение, такова и сила».

К такому же заключению в 1680 г., независимо от Гука, пришел французский ученый Эдмон Мариотт.

Коэффициент пропорциональности (E) в формуле закона Гука называется модуль продольной упругости или модуль Юнга – по имени английского ученого Томаса Юнга. Значение модуля Юнга для данного материала устанавливается опытным путем. В справочниках обычно приводятся среднее значение модуля Юнга .

Необходимо отметить, что некоторые материалы не подчиняются закону Гука , например, кожа, ткани. Такие материалы, как, например, чугун, только с некоторым приближением можно считать подчиняющимся закону Гука. Но даже и те материалы, которые подчиняются закону Гука, перестают ему следовать при достижении деформации определенного значения.

Из закона Гука видно: чем больше модуль Юнга , тем меньше (при том же значении напряжения) деформация материала. Следовательно, модуль продольной упругости характеризует жесткость материала при растяжении (сжатии). Из формулы закона Юнга видно, что модуль Юнга измеряется в тех же единицах, что и нормальное напряжение ().

Так, например, для всех марок сталей МПа.

sopromato.ru

Закон гука на растяжение

Такая деформация приводит к возникновению в стержне упругих сил, которые принято характеризовать напряжением σ:

Рис. 4.3

В случае растяжения σ считается положительной, а в случае сжатия – отрицательной. Опыт показывает, что приращение длины стержня Δl пропорционально напряжению σ:

Тогда приращение длины можно выразить через модуль Юнга:

Заметим, что растяжение или сжатие стержней сопровождается соответствующим изменением их поперечных размеров d₀ и d (рис. 4.3).

Относительное поперечное растяжение (сжатие):

ens.tpu.ru

Лекции и примеры решения задач механики

Закон Гука

Законом Гука называют базовую зависимость в механике устанавливающую взаимосвязь между напряжениями и соответствующими деформациями.

Закон Гука гласит: до определенного момента напряжения прямо пропорциональны деформациям.

Рассмотрим его на следующем примере:

Прямой брус постоянного сечения длиной l , заделанный одним концом и нагруженный на другом конце растягивающей силой F (рис. 1).

Под действием силы F брус удлиняется на некоторую величину Δ l , которая называется полным или абсолютным удлинением.

Если растягивающую силу последовательно увеличивать в n раз, удлинение стержня будет увеличиваться во столько же раз.

Если повторить опыты со стержнями из того же материала, меняя его длину и площадь поперечного сечения, то увидим, что пока нагрузка на образец не достигла определенного предела, удлинение прямо пропорционально силе F, длине образца l и обратно пропорционально площади А.

Данные экспериментов позволяют получить следующую зависимость:

где Е – коэффициент пропорциональности, зависящий от материала называемый модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода (модулем Юнга I-го рода).

Произведение ЕА называется жёсткостью сечения бруса (стержня) при растяжении и сжатии.

Зависимость также можно представить в следующем виде

называется относительным удлинением.

Подставив в предыдущую формулу вместо Δl/l величину ε, а вместо F/A – нормальное напряжение σ, получаем выражение

или закон Гука в его общеизвестном виде

Необходимо отметить что закон Гука действителен только при напряжениях не превышающих предела пропорциональности.

isopromat.ru

Техническая механика

Сопротивление материалов

Закон Гука для продольных нагрузок

Более 350 лет назад 25-летний английский физик Роберт Гук (в англоязычной транскрипции — Хук) сформулировал зависимость между относительным линейным удлинением тела и величиной растягивающей тело силы.
В оригинале формулировка закона, предложенная Гуком, звучит примерно так:
«Какова сила, таково и удлинение».
В современной трактовке эта зависимость в общем виде формулируется следующим образом:
«Сила упругости, возникающая в теле при его деформации, прямо пропорциональна величине этой деформации» .

Казалось бы, очевидный вывод, который напрашивается естественным образом – чем больше сила, приложенная к брусу, тем в большей степени он деформируется. Тем не менее, заслуга Гука заключается в том, что именно он обратил внимание, на линейную (прямо пропорциональную) зависимость между нагрузкой и относительной деформацией.

Открытия многих, казалось бы — очевидных, закономерностей совершают гении. Ведь в течении предшествующих Ньютону человеческих поколений считалось, что чем легче тело, тем дольше оно падает на земную поверхность с высоты. И лишь гений смог опровергнуть это заблуждение миллионов людей. По сути, только великий Эйнштейн сделал неочевидное открытие, которому, впрочем, предшествовали научные исследования и гипотезы многих талантов.

Долгое время закон Гука являлся единственным инструментом новоявленной науки сопротивление материалов, и лежал в основе всех расчетов конструкций на прочность и жесткость. Лишь спустя много лет учеными были установлены более сложные (непропорциональные) зависимости между напряжениями и приложенными к элементам конструкции силовыми факторами, которые, впрочем, тоже основываются на законе Гука.
Большую роль в развитии науки сопротивление материалов сыграли такие видные ученые, как Герц, Журавский, Эйлер, Ясинский и другие, установившие зависимости между напряжениями и сложными видами нагружений. Большинство этих зависимостей и выводов основываются на экспериментально-опытных исследованиях, т. е. получены не только с помощью математического анализа (эмпирические зависимости) .

Роберт Гук (1635—1703) считается одним из талантливейших ученых своего времени. Обладавший кипучей творческой энергией, он совершил много интересных открытий в самых разных науках – фундаментальной физике, термодинамике, акустике, оптике, биологии. Достаточно сказать, что Гуку многие ученые отдают пальму первенства в открытии закона всемирного тяготения, считая, что он раньше Ньютона пришел к его осознанию.
Роберт Гук отличался способностью браться за изучение многих явлений в природе, и, зачастую, не закончив исследование одного явления, на полпути к открытию брался за совершенно другой научный труд, а результатами его незавершенных выводов пользовались последователи, увековечивая свое имя в науке.
Тем не менее, этот человек останется в памяти потомков, как автор знаменитого закона Гука.

Математически закон Гука для деформаций растяжения и сжатия можно записать так:

где:
σ – напряжение в сечении бруса,
ε — относительное удлинение бруса, которое определяется по формуле ε = Δl/l (здесь Δl – абсолютное удлинение бруса, l – начальная длина бруса),
Е – коэффициент пропорциональности, который называют модулем продольной упругости (или модулем упругости первого рода, или модулем Юнга).

Коэффициент Е является справочной (определяемой экспериментально) величиной, характеризующей способность материала противостоять деформации и измеряется в Паскалях (1 Па = Н/м 2 ) .
Поскольку 1 Паскаль – очень маленькая величина (муха весом 14 мг, севшая на столик площадью 1 м 2 окажет на него давление, примерно равное 0,00014 Па) , поэтому чаще применяют ее производную – 1 МПа (миллион Паскалей, или 1 МПа = 1 000 000 Па) .

Математическое выражение закона Гука можно представить в расширенном виде, подставив вместо σ (напряжения) его зависимость от силы и площади сечения: σ = F/A , и вместо ε (удельное удлинение) выражение Δl/l . Тогда получим:
F/A = Е(Δl/l) , откуда можно выразить абсолютное удлинение (укорочение) бруса в результате приложения внешней силы F :

Это выражение можно сформулировать следующим образом: абсолютное удлинение (укорочение) бруса прямо пропорционально приложенной внешней нагрузке и длине бруса и обратно пропорционально площади поперечного сечения бруса .
Выражение ЕА , стоящее в знаменателе дроби, часто называют жесткостью сечения при растяжении и сжатии.

Приведенные формулы закона Гука применимы только для брусьев или их участков постоянного поперечного сечения, изготовленных из однородного материала и при постоянной продольной силе. Если брус имеет ступенчатую форму, или состоит из участков, изготовленных из разных материалов, и нагружен на разных участках несколькими продольными силами, то абсолютное изменение длины всего бруса определяют, как сумму абсолютных удлинений его отдельных участков:

В заключение следует отметить, что закон Гука справедлив в ограниченном диапазоне внешних нагрузок и не применим, когда некоторые напряжения (или деформации) достигают предельных значений, характерных для каждого материала. При превышении предельных значений напряжений линейная зависимость между нагрузками и деформациями не наблюдается.

Материалы раздела «Сопротивление материалов»:

k-a-t.ru

Закон Гука при растяжении и сжатии

Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука в 1678 году.

Закон Гука при растяжении и сжатии справедлив лишь в определенных пределах нагружения и формулируется так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению.

Математически закон Гука можно записать в виде равенства:

Коэффициент пропорциональности Е характеризует жесткость материала, т. е. его способность сопротивляться упругим деформациям растяжения или сжатия, и называется модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода или модулем Юнга. Модуль упругости и напряжение выражаются в одинаковых единицах — Паскалях (Па).

Значения Е, МПа, для некоторых материалов:

Чугун — (1,5 ¸ 1,6) . 10 5

Сталь — (1,96 ¸ 2,16) . 10 5

Медь — (1,1 ¸ 1,3) . 10 5

Сплавы алюминия — (0,69 ¸ 0,71) . 10 5

Дерево (вдоль волокон) — (0,1 ¸ 0,16) . 10 5

Текстолит — (0,06 ¸ 0,1) . 10 5

Капрон — (0,01 ¸ 0,02) . 10 5

Если в формулу закона Гука подставим выражения , то получим:

Произведение ЕА, стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при растяжении и сжатии; оно характеризует одновременно физико-механические свойства материала и геометрические размеры поперечного сечения бруса.

Отношение называется жесткостью бруса при растяжении или сжатии.

Приведенные выше формулы закона Гука применимы только для брусьев или их участков постоянного поперечного сечения, изготовленных из одного материала и при постоянной продольной силе.

Для бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами поперечного сечения, продольной силой, изменение длины всего бруса равно алгебраической сумме удлинений и укорочений отдельных участков:

Дата добавления: 2014-11-10 ; просмотров: 865 . Нарушение авторских прав

studopedia.info