Сохранения количества движения закон

Сохранения количества движения закон

Из теоремы об изменении количества движения системы можно получить следующие важные следствия.

1. Пусть сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю:

Тогда из уравнения (20) следует, что при этом Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянен по модулю и направлению.

2. Пусть внешние силы, действующие на систему, таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, ) равна нулю:

Тогда из уравнений (20) следует, что при этом Таким образом, если сумма проекций всех действующих внешних сил на какую-нибудь ось равна нулю, то проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная.

Эти результаты и выражают закон сохранения количества движения системы. Из них следует, что внутренние силы изменить количество движения системы не могут. Рассмотрим некоторые примеры.

Явление отдачи или отката. Если рассматривать винтовку и пулю как одну систему, то давление пороховых газов при выстреле будет силой внутренней. Эта сила не может изменить количество движения системы, равное до выстрела кулю. Но так как пороховые газы, действуя на пулю, сообщают ей некоторое количество движения, направленное вперед, то они одновременно должны сообщить винтовке такое же количество движения в обратном направлении. Это вызовет движение винтовки назад, т. е. так называемую отдачу. Аналогичное явление получается при стрельбе из орудия (откат).

Работа гребного винта (пропеллера). Винт сообщает некоторой массе воздуха (или воды) движение вдоль оси винта, отбрасывая эту массу назад. Если рассматривать отбрасываемую массу и самолет (или судно) как одну систему, то силы взаимодействия винта и среды, как внутренние, не могут изменить суммарное количество движения этой системы. Поэтому при отбрасывании массы воздуха (воды) назад самолет (или судно) получает соответствующую скорость движения вперед, такую, что общее количество движения рассматриваемой системы остается равным нулю, так как оно было нулем до начала движения.

Аналогичный эффект достигается действием весел или гребных колес

Реактивное движение. В реактивном снаряде (ракете) газообразные продукты горения топлива с большой скоростью выбрасываются из отверстия в хвостовой части ракеты (из сопла ракетного двигателя). Действующие при этом силы давления будут силами внутренними и не могут изменить количество движения системы ракета — продукты горения топлива. Но так как вырывающиеся газы имеют известное количество движения, направленное назад, то ракета получает при этом соответствующую скорость, направленную вперед. Величина этой скорости будет определена в § 114.

Обращаем внимание на то, что винтовой двигатель (предыдущий пример) сообщает объекту, например самолету, движение за счет отбрасывания назад частиц той среды, в которой он движется. В безвоздушном пространстве такое движение невозможно. Реактивный же двигатель сообщает движение за счет отброса назад масс, вырабатываемых в самом двигателе (продукты горения). Движение это в равной мере возможно и в воздухе, и в безвоздушном пространстве.

При решении задач применение теоремы позволяет исключить из рассмотрения все внутренние силы. Поэтому рассматриваемую систему надо стараться выбирать так, чтобы все (или часть) заранее неизвестных сил сделать внутренними.

Закон сохранения количества движения удобно применять в тех случаях, когда по изменению поступательной скорости одной части системы надо определить скорость другой части. В частности, этот закон широко используется в теории удара.

Задача 126. Пуля массой , летящая горизонтально со скоростью и, попадает в установленный на тележке ящик с песком (рис 289). С какой скоростью начнет двигаться тележка после удара, если масса тележки вместе с ящиком равна

Решение. Будем рассматривать пулю и тележку как одну систему Это позволит при решении задачи исключить силы, которые возникают при ударе пули о ящик. Сумма проекций приложенных к системе внешних сил на горизонтальную ось Ох равиа нулю. Следовательно, или где — количество движения системы до удара; — после удара.

Так как до удара тележка неподвижна, то .

После удара тележка и пуля движутся с общей скоростью, которую обозначим через v. Тогда .

Приравнивая правые части выражений , найдем

Задача 127. Определить скорость свободного отката орудия, если вес откатывающихся частей равен Р, вес снаряда , а скорость снаряда по отношению к каналу ствола равна в момент вылета .

Решение. Для исключения неизвестных сил давления пороховых газов рассмотрим снаряд и откатывающиеся части как одну систему.

Пренебрегая за время движения снаряда в канале ствола сопротивлением откату и силами , которые очень малы по сравнению с силами давления пороховых газов, вызывающих откат, найдем, что сумма приложенных к системе внешних сил равна нулю (рис. 290; откатывающиеся вместе со стволом части на нем не показаны). Тогда , а так как до выстрела система неподвижна то и в любой момент времени

Обозначим скорость откатывающихся частей в конечный момент через v. Тогда абсолютная скорость снаряда в этот момент равна Следовательно,

Если бы была известна абсолютная скорость вылета снаряда то в равенство (а) вместо вошла бы сразу величина откуда

Знак минус в обоих случаях указывает, что направление v противоположно и.

Подчеркиваем, что при вычислении полного количества движения системы иадо учитывать абсолютные скорости движения ее частей.

stu.sernam.ru

Закон сохранения количества движения и уравнение движения. Уравнения для скорости (сохранения количества движения) выведем сначала для идеальной жидкости (без вязкости).

Закон сохранения импульса для движущегося малого объема W жидкой частицы (с непроницаемыми стенками) есть

, (1.14)

где в правой части стоит сумма всех сил, действующих на выделенный объем, причем для простоты будем вначале предполагать, что внутренний приток массы отсутствует (M’=0). Ограничиваясь рассмотрением массовой силы F_m (например, центробежной или силы тяжести, действующих на единицу массы, [н/кг]) и сил давления P (действующих на единицу площади, [н/м 2 ]), запишем

.

Учитывая, что (интеграл берется по жидкой частице, то есть по заданному количеству жидкости), и, преобразуя поверхностный интеграл давления в объемный, можно переписать уравнение в виде

. (1.15)

Это закон сохранения количества движения в интегральной форме.

Исходя из произвольного выбора объема жидкой частицы, можно перейти к дифференциальной форме:

. (1.16)

Это закон сохранения количества движения в форме Лагранжа.

Входящая в уравнение производная dV/dt – это субстанциональная производная, которая описывает изменение скорости жидкой частицы.

Используя связь субстанциональной (полной) производной по времени с частной производной скорости по времени (изменение скорости в заданной точке), полученную ранее, приходим к другой дифференциальной форме уравнения сохранения количества движения (форме Эйлера):

. (1.17)

Это уравнение Эйлера, оно получено им еще в 1755 г. Данное уравнение выражает закон сохранения количества движения (импульса).

В проекциях на оси декартовой системы это уравнение имеет вид

Запишем полученные уравнения движения в другой форме – в форме переноса импульса. Для этого выполним следующие преобразования, используя уравнение неразрывности:

, но ,

тогда и, следовательно,

. (1.18)

В декартовой системе координат эти уравнения имеют вид

Эти уравнения, как и в случае уравнения неразрывности, могут быть получены еще одним способом. Выделим в потоке движущейся массы фиксированный элементарный параллелепипед со сторонами dx, dy, dz и подсчитаем массу жидкости, протекающей через него за время dt.

Выделим в потоке газа или жидкости элементарный параллелепипед с ребрами dx, dy, dz. На выделенный объем действуют массовые силы (например, инерционные, гравитационные), поверхностные силы – давления и трения. Найдем проекции этих сил на ось х (рис.1.5):

а) массовые силы приложим в центре элемента объемом dw.

Ее проекция на ось х равна:

,

аналогично на другие оси;

б) сила давления. На левой грани элемента по оси x удельное давление равно Р, на площадку dydz действует сила Pdydz. На противоположной грани удельное давление равно , а на эту грань действует сила . Знак «–» указывает на то, что сила действует против направления оси х. Равнодействующая этих сил равна их алгебраической сумме:

.

Суммируя силы, получим проекцию на ось х равнодействующих всех сил, приложенных к объему dW:

. (1.19)

Согласно второму закону механики равнодействующая равна произведению массы элемента ρdW на его ускорение dV_x /dt:

,

где — локальное, — конвективное изменение величины V_х , d/dt – субстанциальная производная:

. (1.20)

Приравнивая уравнения (1.19) и (1.20), получим:

.

Аналогично запишем уравнения для проекций сил на оси y и z:

Это уравнение движения. Его часто записывают в виде

В случае стационарности процесса первые члены уравнения будут равны нулю.

Рассмотрим теперь данный закон для реальной жидкости, учитывая вязкость (внутреннее трение). Начнем с рассмотрения уравнений движения для изотермической жидкости и еще раз напомним, что уравнение непрерывности справедливо и для реальной жидкости, так как его вывод основывался только на законе сохранения вещества. Воспользуемся уравнением, записанным в форме закона для переноса импульса идеальной жидкости, и допишем в него слагаемые, отвечающие за перенос импульса в результате действия вязких сил.

Главный вектор количества движения К системы материальных частиц равен интегралу от произведений их элементарных масс dm на векторы скоростей частиц V:

.

Применим к объему W массой m теорему об изменении главного вектора количества движения. Приравняв полную производную по времени от главного вектора количеств движения главному вектору внешних массовых F и поверхностных P сил, получим

, (13)

где p_n – результирующая составляющая внутренних сил в газе (сил давления и напряжений вязкости), приложенная к поверхности S объема W.

Вычислим полную производную от главного вектора, причем для простоты будем вначале предполагать, что внутренний приток массы отсутствует (M’=0), тогда

. (1.22)

Чтобы преобразовать поверхностный интеграл в правой части (13) в объемный, перепишем его в виде:

,

где p_х , p_y , p_z – вектор напряжений, приложенный к положительным сторонам площадки, и применим формулы векторного анализа:

(1.23)

Тогда будем иметь

. (1.24)

Подставляя в (1.16) значения входящих в него величин и перенеся все члены в одну строку, получим

. (1.25)

Используя положение о произвольности объема W и приравнивая подынтегральную функцию нулю, получим

. (1.26)

Проектируя обе части равенства на направления осей координат, получим:

(1.27)

Эти уравнения динамики сплошной среды «в напряжениях», или «уравнения импульсов».

Cила трения на единицу поверхности по закону Ньютона

(μ – коэффициент динамической вязкости, Н×с/м 2 ).

Подставив это выражение в предыдущее уравнение и принимая μ = const, получим

.

В общем случае, когда V_x изменяется по трем направлениям, проекция силы трения на ось х определяется выражением

.

Суммируя силы, получим проекцию на ось х равнодействующих всех сил, приложенных к объему dW:

. (1.28)

Получим уравнения движения с учетом вязкости, используя подход, изображенный на рис.1.5. Добавим силу трения, определив ее из рассмотрения плоского ламинарного потока, в котором скорость V_x изменяется лишь в направлении оси y. В этом случае сила трения s возникает лишь на боковых гранях элемента (рис.1.6).

Около левой грани скорости движения частиц меньше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении ‘y’ сила трения направлена против движения и равна – sdxdz. У правой грани скорость движения больше, чем в самом элементе, поэтому здесь в сечении ‘y+dy’ сила трения направлена в сторону движения и равна

.

Здесь – сила трения на единицу поверхности, по закону Ньютона.

Подставив это выражение в предыдущее уравнение и принимая μ = const, получим .

В общем случае, когда V_x изменяется по трем направлениям, проекция силы трения на ось х определяется выражением

.

Суммируя силы, получим проекцию на ось х равнодействующих всех сил, приложенных к объему dW:

. (1.29)

Используя вновь понятие субстанциальной производной

,

согласно второму закону механики получим:

Аналогично запишем уравнения для проекций сил на оси y и z (учитывая, что ):

Эти уравнения движения называют уравнениями Навье-Стокса. Дифференциальное уравнение движения в форме Навье-Стокса описывает движение вязкой сжимаемой жидкости или газа и справедливо как для ламинарного, так и для турбулентного движения.

В случае гипотезы “идеального газа” уравнения движения Навье — Стокса переходят в уравнения Эйлера:

(1.30)

В случае стационарности процесса первые члены уравнения будут равны нулю. Для двух- и одномерного движения уравнения Навье-Стокса и Эйлера соответствующим образом упрощаются.

Закон сохранения энергии. Закон сохранения энергии не только устанавливает неизменность всей энергии для любой выделенной массы жидкости или газа, но и отражает взаимопреобразование различных форм движения материи, и в первую очередь механической энергии в тепловую. Для расчета этих преобразований служит уравнение баланса энергии, выводимое из общего термодинамического закона сохранения энергии, который для индивидуального (непроницаемого) объема движущейся среды формулируется так:

– изменение полной энергии выделенного объема жидкости или газа за единицу времени равно сумме работ приложенных к нему массовых и поверхностных внешних сил на поверхностях, ограничивающих этот объем, и подведенного извне тепла за то же время.

Этот закон выражается интегральным равенством

(1.31)

где – удельная полная энергия; U = c_vT – удельная внутренняя энергия; – результирующая массовых сил, – результирующая составляющая внутренних сил в газе (сил давления и напряжений вязкости), приложенная к поверхности S выделенного объема W; q – удельное количество энергии (обычно тепла), подводимое в единицу времени к рабочему телу в выделенном объеме.

Учитывая произвольность выделенного объема W, получаем дифференциальную форму данного закона:

(1.32)

Необходимость введения уравнения энергии следует из того, что два уравнения – неразрывности (скалярное) и движения (векторное) – содержат три неизвестных величины: одну векторную (скорость ) и две скалярные (давление р и плотность r), поэтому для газа (W=var) число искомых величин на одну больше, чем число уравнений. Если присоединить уравнение энергии, то добавится ещё одна неизвестная величина – температура Т. Система уравнений получиться замкнутой присоединением уравнения состояния, и тогда задача аэрогазодинамики (при заданных граничных и начальных условиях) становится определенной.

Если рассматривается идеальная несжимаемая жидкость, то полагают, что в жидкости отсутствуют теплообмен и трение. В таком случае движение адиабатично в каждой жидкой частице. Следовательно, закон сохранения энергии выливается в утверждение, что энергия каждого жидкого элемента остается постоянной:

Отсюда следует, что для описания движения идеальной несжимаемой жидкости уравнение энергии не используется.

poznayka.org

Закон сохранения количества движения

Если сумма всех внешних сил, действующих на систему равна нулю:

.

Тогда из уравнения (8.14) следует, что:

, т.е.: ,

а это означает, что , т.е..

Таким образом, если сумма всех внешних сил, действующих на систему равна нулю, то вектор количества движения системы будет постоянный по величине и направлению.

В случае, если внешние силы, действующие на систему таковы, что сумма их проекций на какую-нибудь ось (например, ОХ) равна нулю:

.

То тогда проекция количества движения системы на эту ось есть величина постоянная:

.

Эти результаты выражают закон сохранения количества движения системы. Отсюда следует, что внутренние силы системы не могут изменить вектор количества движения системы.

При решении задач с помощью закона сохранения главного вектора количеств движения, следует придерживаться следующей последовательности:

изобразить на рисунке все внешние силы;

выбрать систему координат;

записать теорему об изменении главного вектора количеств движения системы материальных точек в проекциях на оси координат;

если сумма проекций импульсов внешних сил на ось оказывается равной нулю, например, , то следует приравнять между собой проекции на эту ось главного вектора количеств движения системы в начальный и конечный моменты времени, т.е., гдеи, и из полученного уравнения определить искомую величину.

Задача 8.2 (36.3)

Определить главный вектор количеств движения маятника, состоящего из однородного стержня ОА весом Р₁ длиной 4r и однородного диска В весом Р₂ радиуса r, если угловая скорость маятника в данный момент равна ω.

В данной задаче система состоит из двух тел: стержня, длиной 4r и однородного диска радиусом r. Центр масс стержня находится в геометрическом центре (точка С), причем ОС=СА, центр масс диска находится в его геометрическом центре (точка В), так как тела однородные. Тогда для стержня вектор количества движения можно вычислить:

Так как , тогда модуль вектора количеств движения стержня будет:

.

Вектор направлен перпендикулярно стержнюОА. Для диска вектор количеств движения равен:

.

Скорость в точке В можно определить:

.

Тогда модуль будет равен:

.

Модуль вектора количеств движения системы определится следующим образом:

, тогда

Ответ: , вектор количеств движения направлен перпендикулярно стержнюОА.

Вопросы для самоконтроля:

Что такое количество движения материальной точки и механической системы?

Теорема об изменении количества движения в дифференциальной форме?

Теорема об изменении количества движения в интегральной форме?

Задачи, рекомендуемые для самостоятельного решения: 28.1. – 28.3., 36.1 – 36.12. [3].

Литература: [1] – [5].

Теорема об изменении момента количества движения точки

Моментом вектора относительно данного центра О или осиZ обозначается соответственно иназывается моментом количества движения или кинетическим моментом точки относительно центра или оси.

Вычисляется момент вектора так же как и момент силы.

– для момента вектора относительно центра:

.

– для момента вектора относительно оси:

,

где – кратчайшее расстояние между точкой приложения вектораи осью или центром;

studfiles.net

Лекции и примеры решения задач механики

Теорема об изменении количества движения материальной точки

Пусть материальная точка M массы m движется под действием силы F, имея в данный момент скорость V (рисунок 2.1, а).

Построим вектор количества движения q = m×v.

По второму закону динамики для свободной материальной точки имеем

Так как масса материальной точки m – величина постоянная, а ускорение

то равенство (2.1) можно представить в виде

Выражение (2.3) является формой основного закона динамики (2.1). Первоначально он был записан Ньютоном именно в подобной форме. Формула (2.3) представляет собой содержание теоремы об изменении количества движения материальной точки в дифференциальной форме (в векторном выражении): производная по времени от количества движения материальной точки равна силе, действующей на эту точку.

Проецируя векторное равенство (2.3) на декартовы оси координат, получаем равенства, определяющие содержание теоремы в скалярном виде:

т.е. производная по времени от проекции количества движения материальной точки на какую-либо ось равна проекции на эту же ось действующей на точку силы.

Умножив обе части равенства (2.3) на элементарный промежуток времени dt, получим выражение теоремы об изменении количества движения материальной точки в другой дифференциальной форме:

где S — импульс силы,
т.е. дифференциал количества движения материальной точки равен элементарному импульсу силы, действующей на эту точку.

Пусть движущаяся материальная точка в начальный момент t=0 находилась в положении M₀ и имела скорость V₀, а в момент t приходит в положение M и имеет скорость V (рисунок 2.1, б). Тогда, проинтегрировав равенство (2.5) в пределах соответствующего перемещения точки (из положения M₀ в положение M), получим

или

Полученное равенство (2.6) представляет собой теорему об изменении количества движения материальной точки в конечной (интегральной) форме (в векторном выражении): изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени равно полному импульсу действующей на эту точку силы за тот же промежуток времени.

Теорема об изменении количества движения выражает, таким образом, тесную связь, которая имеет место между импульсом силы как меры ее действия во времени и количеством движения как меры механического движения.

Проецируя равенство (2.6) на декартовые оси координат:

получаем выражения (2.7) для теоремы об изменении проекции количества движения в конечной форме (в скалярном выражении): изменение проекции количества движения материальной точки на какую-либо ось за конечный промежуток времени равно проекции на эту же ось полного импульса действующей на точку силы за тот же промежуток времени.

Уравнения в проекциях (2.7) чаще всего применяются при решении задач динамики точки на изменение количества движения.

Рассмотрим следствия теоремы:

1. если F=0, то m×V=C=const, или m×V=m×V₀ — имеем закон сохранения количества движения.
2. если X=0 (F≠0), то m∙V_x = C, или m∙V_x = m∙V_0x — имеем закон сохранения проекции количества движения на ось.

То есть если на материальную точку не действует какая-либо сила (проекция действующей силы на какую-либо ось равна нулю), то вектор количества движения точки (проекция количества движения точки на эту же ось) со временем не изменяется.

isopromat.ru