Правила о верно равенство

Задача.

Два арбуза весят 14 кг, причем масса одного из них равна 8 кг. Какова масса второго арбуза?

Решение:

Обозначим массу второго арбуза буквой х . Так как масса двух арбузов равна 14 кг, получаем:

Найдем такое значение x , при котором это равенство будет верно. Нам надо найти слагаемое по сумме и второму слагаемому.

О т в е т: Масса второго арбуза равна 6 кг.

Если в равенство входит буква, то равенство называется уравнением. Уравнение может быть верным при одних значениях этой буквы и неверным при других ее значениях.

Например, уравнение x + 6 = 7

верно при x = 1 и неверно при x = 2 .

Значение буквы, при котором уравнение — верно, называют корнем уравнения.
Например, корнем уравнения x + 2 = 5 является число 3 .

Решить уравнение — значит найти все его корни (или убедиться, что оно не имеет решения).

Пример 1. Решим уравнение x + 28 = 42 .

Решение:

С помощью вычитания, найдем неизвестное слагаемое.

x = 42 – 28, то есть x = 14 .

Число 14 является корнем уравнения x + 28 = 42 , потому что

Чтобы найти неизвестное слагаемое, надо из суммы вычесть известное слагаемое.

Пример 2. Решим уравнение y – 17 = 88 .

Решение:

y = 17 + 88 , то есть y = 105 .

Число 105 является корнем уравнения y – 17 = 88 ,

так как верно равенство 105 – 17 = 88 .

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо сложить вычитаемое и разность.

Пример 3. Решим уравнение 44 – z = 27 .

Решение:

z = 44 – 27 , то есть z = 17 .

Число 17 является корнем уравнения 44 – z = 27 ,

так как верно равенство 44 – 17 = 27 .

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо из уменьшаемого вычесть разность.

uclg.ru

Правила о верно равенство

называется число .В случае бесконечного закона распределения будем предполагать, что записанный ряд сходится. Математическое ожидание случайной величины характеризует ее средневзвешенное значение.

Свойство 1. Если все возможные значения ДСВ Х удовлетворяют неравенству то

Свойство 2. Математические ожидание постоянной величины равно самой этой постоянной, т.е. М(С)=С.

Свойство 3 . Для случайной величины Х и числа Свыполняется М(СХ)=СМ(Х).

Определение.Произведением (суммой) случайных величин Х и с законами распределения вероятностей

называется случайная величина, принимающая всевозможные значения (или с вероятностями, равными вероятностям совместного появления значений и .

Определение. Случайные величины Х и Y называется независимыми, если закон распределения каждой из этих величин не зависит от того, какое значение приняла вторая величина.

Свойство 4. Если Х и Y независимые величины, то M(XY) = M(X)M(Y).

Свойство 5. Для случайных величин Х и Y верно равенство M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Следствие.Математическое ожидание биномиальной случайной величины Х с параметрами n и p равно M(X)=n p.

Определение. Дисперсиейслучайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения этой величины относительно ее математического ожидания.

Дисперсия обозначается через D(X): D(X) = M (( X- M (X)) 2 ).

Дисперсия как раз и характеризует средневзвешенное отклонения в квадрате значений величины относительно ее математического ожидания. Несложно получить и другую более удобную формулу для нахождения дисперсии: D(X)=M(X 2 )-M(X) 2 .

Определение. Средним квадратическим отклонением называется . Обозначается , т.е. .

Перечислим основные свойства дисперсии.

Свойство 1. Дисперсия случайной величины Х неотрицательна: .

Это следует из того, что квадрат отклонения случайной величине не отрицателен.

Свойство 2. Дисперсия ДСB Х равна нулю только в том случае, когда Х — постоянная.

Свойство 3. Если X -ДCB, а С число, то D(CX )= C 2 D(X).

Свойство 4. Дисперсия суммы независимых величин равна сумме их дисперсии

.

Свойство 5. Для независимых величин X и Y: D(X-Y)=D(X)+D(Y).

Следствие. Дисперсия биномиальной случайной величины Х с параметрами n, p равна

.

Осн.лит: 19 [7-62], 21 [8-58],

1. Сформулируйте теоремы сложения и умножения вероятностей зависимых и независимых

2. Приведите формулы полной вероятности и Байеса.

3. Приведите формулы Бернулли, Муавра-Лапласа(локальной и интегральной), Пуассона.

4. Перечислите свойства числовых характеристик ДСВ.

Лекция 14. Непрерывная случайная величины (НСВ) и ее числовые характеристики НСВ. Нормальный, равномерный и показательный законы распределения. Закон больших чисел

Определение. Случайная величинаХ, функция распределения которой непрерывна для всех ,называется непрерывной случайной величиной.

Примеры:Время ожидания транспорта на остановке, время горения электрической лампочки.

Определение. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величиныХназывается производная ее функции распределения: .

Перечислим основные свойстваплотности вероятности непрерывной величины.

Свойство 1. Плотность случайной величины Х неотрицательна:.

Это свойство следует из того, что — неубывающая функция.

Свойство 2. Для любого отрезка вероятность попадания значения величины в этот отрезок равна интегралу от плотности случайной величины по этому отрезку:

Свойство 3.Для непрерывной величины с плотностью верно.

Свойство 4 (формула обращения) Если плотность непрерывной величины , то ее функция распределения вероятностей равна .

Определение. Математическим ожиданиемнепрерывной случайной величины Х с плотностью называется число Если все значения лежат в отрезке , то мат. ожидание равно. Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. существует интеграл. Если бы это требование не выполнялось, то значение интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) нижнего предела к, а верхнего к. По аналогии с дисперсией дискретной величины определяется и дисперсия непрерывной величины.

Определение. Дисперсиейнепрерывной случайной величины называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.

Если возможные значения принадлежат отрезку, то; если возможные значенияпринадлежат всей оси, то. Среднее квадратическое отклонение непрерывной случайной величины определяется, как и для величины дискретной, равенством.

Пример.Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины, заданной интегральной функцией

Решение.Найдем дифференциальную функцию

Найдем математическое ожидание .

Найдем дисперсию .

Определение. Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины, если диф­ференциальная функция (плотность вероятности) определяется равенством

.

Мы видим, что нормальное распределениеопределяется двумя парамет­рами:и. Достаточно задать эти параметры, чтобы задать нормальное распределение. Покажем, что вероятностный смысл этих параметров таков:есть математическое ожидание,среднее квадратическое отклонение нор­мального распределения.

а) По определению математического ожидания непрерывной случайной величины

.

Итак, , т.е. математическое ожидание нормального распределения равно параметру.

б) По определению дисперсии непрерывной случайной величины, учитывая, что , имеем . Введем новую переменную. Отсюда ,. Приняв во внимание, что новые пределы интегрирования равны старым, получим . Интегрируя по частям, положив,, найдем. Следовательно,.Итак, среднее квадратическое отклонение нормального распределения равно параметру .

Известно, что, если случайная величина задана дифференциальной функцией , то вероятность того, что примет значение, принадлежащее интервалу ,равна .Пусть случайная величина распределена по нормаль­ному закону. Тогда вероятность того, что примет значе­ние, принадлежащее интервалу , равна

.

Преобразуем эту формулу так, чтобы можно было поль­зоваться готовыми таблицами. Введем новую переменную . Отсюда,. Найдем новые пределы интегрирования. Если, то; если , то. Таким образом, имеем

Пользуясь функцией Лапласа ,

окончательно получим (*)

Часто требуется вычислить вероятность того, что от­клонение нормально распределенной случайной величины по абсолютной величине меньше заданного положитель­ного числа , т.е. требуется найти вероятность осуще­ствления неравенства . Заменим это равенство равносильным ему двойным неравенством , или .Пользуясь формулой (*), получим

.

Приняв во внимание равенство (функция Лапласа – нечетная), имеем

.В частности, при.Преобразуем полученную формулу положив. В итоге получим.

Если и, следовательно,, то,т.е. вероятность того, что отклонение по абсолютной вели­чине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973. Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Это означает, что лишь в 0,27% случаев так может произойти. Такие события, исходя из принципа невозмож­ности маловероятных событий, можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического оживания не превосходит утроенного среднего квадратичес­кого отклонения.

На практике правило трех сигм применяется так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то имеются основания предполагать, что изучаемая вели­чина распределена нормально; в противном случае она не распределена нормально.

Закон равномерного распределения вероятностей. Показательное распределение

Определение. Распределение вероятностей называют равномерным, если на интерва­ле, которому принадлежат все возможные значения случайной величины, плотность вероятности имеет постоянное значение. Найдем дифференциальную функцию равномерного распределения, считая, что все возможные значения случайной величины заключены в интервале , на котором дифференциальная функция сохраняет постоянное значение . По условию X не принимает значений вне интервала , поэтому при и. Найдем значение постоянной С. Так как все возможные значения случайной величины принадлежат интервалу , то должно выполняться равенство

или Отсюда

Итак, закон равномерного распределения аналитически можно записать так:

Определение.Показательной случайной величиной с параметрамназывается случайная величина,имеющая плотность вероятности вида

Несложно проверить, что т.е. что определение данной плотности корректно.

Числовые характеристики показательно распределенной величины равны:

и .

Под законом больших чиселв теории вероятностей понимается набор теорем, описывающих поведение суммы большого числа случайных величин. При выполнении некоторых условий, эта сумма обладает свойствами практически не зависящими от свойств слагаемых , а часто эта сумма теряет свойства случайности и приближается к постоянной.

Теорема (Неравенство Чебышева). Пусть Х – случайная величина, М() ее математическое ожидание, D() – дисперсия,-число. Тогда.

Теорема Чебышева. Пусть— последовательность независимых случайных величин, дисперсии которых ограничены некоторым числом, т.е.для всех.

Пусть , .

Тогда для любого верно соотношение

Смысл этой теоремы состоит в том, что при выполнении ее условий вероятность отклонения среднего арифметического случайных величин от среднего арифметического их мат. ожиданий меньше чем на любое малое число стремится к единице с ростом.

Определение. Пусть имеется последовательность случайных величин. Эта последовательность называется сходящейся по вероятности к числу,если для каждого верно .Соответствующее обозначение

Это определение позволяет использовать понятие предела в теории вероятностей.

Следствие. Пустьпоследовательность независимых величин с равными мат. ожиданиямии ограниченными числом С дисперсиями, тогда последовательность их средних арифметических присходится по вероятности к мат. ожиданию, т.е..

Теорема Бернулли. Пусть имеется последовательность испытаний, в каждом из которых событиямогут появляться с вероятностью, пусть — относительные частоты появления событий виспытаниях, тогдапристремится кпо вероятности, т.е.

Осн. лит: 19 [67-92],[105-117], [121-150], 21 [99-131] [148-161]

1. Числовые характеристики Н.С.В и их свойства.

2. Что понимают под законом больших чисел.

3. Сформулируйте неравенство и теорему Чебышева.

4. Сформулируйте теорему Бернулли.

5. Опишите нормально распределенную случайную величину и ее характеристики.

Лекция 15. Элементы математической статистики . Генеральная и выборочная совокупности. Полигон. Гистограмма. Статистическая гипотеза. Доверительный интервал.

Задача математической статистики состоит в создании методов сбора и обработки статистических данных для получения научных и практических выводов.

Определение. Выборочной совокупностью, или простовыборкойна­зывают совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностьюназывают совокупность объектов, из которых производится выборка. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 де­талей, то объем генеральной совокупности, а объем выборки.

Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем наблюдалосьраз,раз,раз и— объем выборки.

Определение. Наблюдаемые значенияназывают вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки— относительными частотами.

Определение. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака . Введем обозначения:— число наблюдений, при которых наблюдалось значе­ние признака меньшее,— общее число наблюдений (объем выборки). В целях наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмму.Полигоном частотназывают ломаную, отрезки которой соединяют точки,. .Полигоном относительных частотназывают ломаную, отрезки которой соединяют точки,. .

В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основанием которых служат частичные интервалы длиною, а высоты равны отношению(плотность частоты).

Статистические оценки выборочных характеристик.

Любые характеристики СВ определяются ее законом распределения, поэтому одна из основных задач математической статистики(МС) – по наблюдениям над независимыми реализациями СВ т.е. по выборке определить приближенные значения параметров распределения. Вместо слова “ приближенное значение “ в МС используется термин “оценки” параметров.

Определение: Выборочным средним или выборочным аналогом математического ожидания называется величина, если все значенияxiразличны, , если значения xi повторяются с соответствующими частотамиni .

Определение:Выборочной дисперсиейили выборочным аналогом дисперсии называется величина, если все значенияxiразличны ;, если значения xi повторяются с соответствующими частотамиni .

Определение:Выборочным среднеквадратичным отклонениемназывают величину: если значения xi повторяются с соответствующими частотамиni .

Вместо выборочной оценки дисперсии чаще всего используют следующую оценкунесмещенная оценка дисперсии. Для одних и тех же параметров можно использовать разные оценки, которые различаются свойствами. Пусть— оценка характеристики распределения, полученная по выборке объемаn. Тогда оценканазываетсясостоятельной,если-→по вероятности, когдаn→∞ ( P(=)→1 при (n→∞), оценканазываетсянесмещенной, если М=, оценканазываетсяэффективной, если некоторая функция ее отклонения от значенияминимальна ( например, дисперсия).

Определение: Точечной называется оценка, определяемая одним числом, н-р: выборочная средняя и выборочная дисперсия являются точечными оценками.

Для нахождения точечных оценок обычно применяют метод моментов:

Определение : Начальнымэмпирическим моментомk- го порядка называется среднее значение к – х степеней выборочной совокупности=nx/n. Начальный эмпирический момент первого порядка равен выборочной среднейx.

Центральнымэмпирическим моментом к – го порядка называется среднее значение к –х степеней разностейx-x.Центральный эмпирический момент второго порядка равен выборочной дисперсииD. Основой метода моментов является то, что эмпирические моменты рассматриваются как оценки теоретических моментов распределения случайной величины. Неизвестные параметры теоретического распределения выражаются как функции теоретических моментов. Заменяя теоретические моменты эмпирическими, получим оценки искомых параметров.

Пример: Найти точечную оценку параметрапоказательного распределения:

F(X) =1 –EXP(-x),F(x)=0,приx x– правосторонняя критическая область. Вернемся к предыдущему примеру: построение доверительного интервала для оценки математического ожидания при известной дисперсии.

Пример:Пусть х;=5,n=4,D=1,уровень надежности=0,954.

studfiles.net

Еще по теме:

  • Нотариус крылова светлана Все Нотариусы Москвы "К" Нотариус Кабанова Галина Александровна Адрес: Давыдковская ул., 6 Телефон: 445-49-49 Нотариус Кабыш Татьяна Николаевна Адрес: Лукинская ул., 1 Телефон: 732-90-98 Нотариус Кавуновская Надежда Сергеевна Адрес: Хорошевский 3-й […]
  • Праздники на судах Праздники в 2018 году * звёздочкой отмечены предпраздничные дни, продолжительность рабочего времени в которые сокращена на 1 час ПРАЗДНИЧНЫЕ и НЕРАБОЧИЕ ДНИ в 2018 году: (Постановление Правительства РФ от 14 октября 2017 года № 1250) 1 – 8 января […]
  • Закон краснодарского края 3039-кз Закон краснодарского края 3039-кз 5 ноября 2014 года N 3039-КЗ О ЗАКРЕПЛЕНИИ ЗА СЕЛЬСКИМИ ПОСЕЛЕНИЯМИ КРАСНОДАРСКОГО КРАЯ ВОПРОСОВ МЕСТНОГО ЗНАЧЕНИЯ Принят Постановлением Законодательного Собрания Краснодарского края от 22 октября 2014 года Список […]
  • Приказ минобразования 209 от 24032010 Охрана труда Скачивать документы могут только зарегистрированные пользователи! Пожалуйста, войдите или зарегистрируйтесь! Приказ Минобрнауки РФ от 24.03.2010 N 209 "О порядке аттестации педагогических работников государственных и муниципальных […]
  • Колягин методическое пособие Алгебра. 7 класс. Методические рекомендации. Колягин Ю.М., Ткачева М.В. и др. 2-е изд. - М.: 2017 - 144 с. Данная книга окажет практическую помощь учителям, работающим по учебнику алгебры авторов Ю. М. Колягина и др. В ней дан обзор основных […]
  • Отдел по защите прав потребителя ижевск Управление по защите прав потребителей УР Управление по защите прав потребителей Администрации города Ижевска Комитет по защите прав потребителей в Ижевске ликвидирован. И консультированием горожан занялся Отдел по защите прав потребителей […]