Оглавление:

Условные законы распределения

Для того, чтобы охарактеризовать зависимость между составляющими двумерной случайной величины, вводится понятие условного распределения.

Условным законом распределениясоставляющей x, входящей в систему (X,Y),называется ее закон распределения, вычисленный при условии, что другая случайная величина Yприняла определенное значение y. Аналогично определяется условный закон составляющей Y.

Рассмотрим дискретную двумерную случайную величину (X,Y). Пусть возможные значения составляющих таковы: x1,x2,…,xm и y1,y2,…,yn. Обозначим условную вероятность того, что X примет значение xi при условии, что Y = yj, через P(xi│yj).Условная вероятность P(xi│yj), вообще говоря, не будет равна безусловной вероятности P(xi).

Условным распределением составляющей X при Y = yj называют совокупность условных вероятностей:

Аналогично определяется условно распределение Y при X = xi:

Зная закон распределения двумерной дискретной величины, можно вычислить условные вероятности составляющих:

Сумма вероятностей условного распределения равна единице.

Рассмотрим теперь двумерную непрерывную случайную величину (X,Y).

Условной плотностью распределения составляющей X при заданном значении Y=y называют отношение плотности совместного распределения системы к плотности распределения составляющей Y:

Отличие условной плотности f (x│y) от безусловной плотности f1(x) состоит в том, что функция f (x│y) дает распределение X при условии, что составляющая Y приняла значение y, а функция f1(x) дает распределение X независимо от того, какие из возможных значений приняла составляющая Y.

Аналогично определяется условная плотность распределения составляющей Y:

Свойства условных плотностей распределения:

Если условные плотности распределения случайных величин Xи Y равны их безусловным плотностям, то величины Xи Yявляются независимыми.

Случайные величины Xи Yназываются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая. В противном случае величины X и Yназываются зависимыми.

Для того чтобы случайные величины Xи Yбыли независимыми, необходимо и достаточно, чтобы

Зная закон распределения системы двух случайных величин, можно всегда определить законы распределения отдельных величин, входящих в систему (маргинальныезаконы распределения).

Рассмотрим непрерывную двумерную случайную величину.

Так как , то, дифференцируя последнее выражение по х, будем иметь:

Зная f(х,у), легко определяются f(х) и f(у).

Чтобы определить f(х,у) по f(х) и f(у), надо знать условные законы распределения.

Дата добавления: 2016-06-15 ; просмотров: 2790 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ

poznayka.org

Найти законы распределения составляющих x и y

Найти: а) законы распределения составляющих; б) условный закон распределения Xпри условии, чтоY=-2; в) условный закон распределенияY, при условии, чтоX=2.

Решение.а) Для отыскания вероятностей появления возможных значений хiпроведем суммирование вероятностей по существующим столбцам, а для yk– по строкам. Результаты вычислений занесем в таблицу. Тогда первая и четвертая строки будут определять закон распределения для X, а первый и пятый столбцы – для Y.

б) Для отыскания условных вероятностей значений X поделим вероятность совместного появления X=xi, Y=-2, на p(yk=-2)=0,45 и результат запишем в последней строке: 0,1/0,45=2/9; 0,2/0,45=4/9; 0,15/0,45=1/3.

в) Аналогично найдем условные вероятности для Y: 0,15/0,4=3/8; 0,25/0,4=5/8.

Тогда первая и пятая строки будут определять условный закон распределения для X, а первый и шестой столбцы – для Y.

Пример 11.Задана функция распределения двумерной случайной величины

Найти: а) двумерную плотность распределения систему (X,Y); б) плотность распределения составляющих; в) условные плотности распределения составляющих; г) вероятность попадания случайной точки (X,Y) в треугольник с вершинами О(0,0); А(0,1); В(1,0).

Решение.а) Двумерную плотность вероятности системы найдем по формуле:Следовательно

б) Найдем плотность распределения составляющей X:

Для составляющей Y:

в) Условные плотности распределения равны:

Заметим, что условные плотности распределения совпали с безусловными, следовательно X и Y независимы.

г) Вероятность попадания случайной точки в область Д вычисляется по формуле:

Область Д – треугольник ОАВ, уравнения сторон которого имеют вид: x=0; y=0; x+y=1. Тогда

12. Задана двумерная плотность вероятности системы двух случайных величин: f (х, у) = (1/2)sin(х+у) в квадрате ,; вне квадрата f(x,y)= 0. Найти функцию распределения системы (X, Y).

13. Задана двумерная плотность вероятности системы случайных величин (X, Y)

.

Найти функцию распределения системы.

Указание: использовать формулу

14. Задана двумерная плотность вероятности системы (X, Y) двух случайных величин. Найти постоянную С.

15. Задана дискретная двумерная случайная величина (Х, Y):

studfiles.net

Двумерные случайные величины и их характеристики. Функции.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. №421, стр.143

Задана дискретная двумерная случайная величина (X,Y):

Найти: а) безусловные законы распределения составляющих; б) условный закон распределения составляющей X при условии, что составляющая Y приняла значение y1=0,4; в) условный закон распределения Y при условии, что Х=x2= 5.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. №422, стр.144

Задана дискретная двумерная случайная величина (X,Y):

Найти: а) условный закон распределения X при условии, что Y=10; б) условный закон распределения Y при условии, что Х=6.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. №423, стр.145

Задана плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

Найти: а) плотности распределения составляющих; б) условные плотности распределения составляющих.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. №424, стр.145

Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины (X,Y):

Найти: а) постоянный множитель C; б) плотности распределения составляющих; в) условные плотности распределения составляющих.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. №425, стр.145

Плотность совместного распределения непрерывной двумерной случайной величины f(x,y)=Cosx · Cosy в квадрате 0≤x≤π/2, 0≤y≤π/2; вне квадрата f(x,у)=0. Доказать, что составляющие X и Y независимы.

Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. №426, стр.146

Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) распределена равномерно внутри прямоугольника с центром симметрии в начале координат и сторонами и 2b, параллельными координатным осям. Найти: а) двумерную плотность вероятности системы; б) плотности распределения составляющих.

www.zadanonadom.ru

Решение задач по ТОЭ, ОТЦ, Высшей математике, Физике, Программированию.

§ 3. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

6. Двумерные случайные величины.

Часто приходится решать задачи, в которых рассматриваются события, описываемые не одной, а несколькими — в частности, двумя случайными величинами. Так если станок-автомат штампует цилиндрические валики, то диаметр валика и его высота , образуют систему двух случайных величин
Двумерной случайной величиной называют систему из двух случайных величин , для которой определена вероятность совместного выполнения неравенств и , где x и y — любые действительные числа.

Функция двух переменных

определенная для любых x и y, называется функцией распределения системы двух случайных величин

Будем рассматривать и как декартовы координаты точки на плоскости. Точка может занимать то или иное положение на плоскости . Тогда функция распределения даст вероятность того, что случайная точка попадает в область , изображенную на рис. 13.

Двумерная случайная величина называется дискретной, если и — дискретные величины.
Пусть возможные значения и образуют, например, конечные последовательности x1, x2, . xn и y1, y2, . ys. Возможные значения двумерной случайной величины имеют вид (xi, yj), где i=1, 2, . n; j=1, 2, . s. Обозначим через pij вероятность того, что

Функция распределения F(х, у) имеет вид

где двойная сумма распространена на те i и j, для которых xi
Две дискретные случайные величины и называются независимыми, если для всех пар i, j выполняется соотношение

Пример 1. Две игральные кости бросают по одному разу. Обозначим через число очков, выпавшее на первой кости, а через — на второй; тогда — Двумерная дискретная величина. Покажем, что величины и независимы. (Решение)

Двумерная величина называется непрерывной, если существует такая непрерывная неотрицательная функция , двух переменных, что вероятность того, что точка содержится в некоторой области плоскости , равна двойному интегралу от функции по области :

Таким образом, чтобы получить плотность распределения одной из составляющих двумерной случайной величины, надо проинтегрировать в границах от до плотность распределения системы по переменной, соответствующей другой случайной величине.

Пример 2. Двумерная случайная величина имеет плотность распределения
Найти:
1) вероятность р попадания случайной точки в квадрат изображенный на рис. 14;
2) функцию распределения F(х,у);
3) плотности распределения каждой величины и в отдельности. (Решение)

По определению двумерная случайная величина распределена нормально, если плотность распределения системы величин и имеет вид

где , , а R — некоторая постоянная (см. § 9, п. 2). Можно показать [используя формулы (37) и (38)], что каждая из величин и распределена нормально:

На доказательстве этого факта мы не будем останавливаться. В частности, если и независимы, то . Отсюда следует, что R=0, и, cледовательно,

Нетрудно убедиться в том, что справедливо и обратное утверждение: если R=0, то и — независимые случайные величины.

www.toehelp.ru

Системы двух случайных величин

8. Системы двух случайных величин

8.1. Закон распределения двумерной случайной величины

Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень возможных значений этой величины, т.е. пар чисел и их вероятностей .

Функцией распределения двумерной случайной величины называют функцию , определяющую для каждой пары чисел x , y вероятность того, что и

Свойства функции распределения:

· Значение функции распределения удовлетворяют двойному неравенству

· — неубывающая функция по каждому аргументу.

· Имеют место предельные соотношения:

· При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Х; При функция распределения системы становится функцией распределения составляющей Y .

Плотностью совместного распределения вероятностей двумерной непрерывной случайной величины называют вторую смешанную частную производную от функции распределения

.

Зная плотность совместного распределения , можно найти функцию распределения по формуле

Свойства двумерной плотности распределения:

· Двумерная плотность вероятности неотрицательна

· Двойной несобственный интеграл с бесконечными пределами от двумерной плотности распределения равен 1:

Плотности вероятностей составляющих двумерной случайной величины

8.2. Условные законы распределения вероятностей составляющих дискретной двумерной случайной величины

Условные законы распределения составляющих системы дискретных случайных величин

Условные законы распределения составляющих системы непрерывных случайных величин

Зависимые и независимые случайные величины:

Для того чтобы непрерывные случайные величины Х и Y были независимые, необходимо и достаточно, чтобы плотность совместного распределения системы была равна произведению плотностей распределения составляющих: .

Корреляционный момент случайных величин Х и Y называют математическое ожидание произведения отклонений этих величин

Для вычисления корреляционного момента дискретных величин используют формулу:

Для непрерывных случайных величин

Для независимых случайных величин корреляционный момент равен 0.

Коэффициентом корреляции случайных величин Х и Y называют отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих величин

Коэффициент корреляции лежит в пределах от -1 до 1.

primer.by

Еще по теме:

  • Распечатать бланк договора купли продажи дома с земельным участком Договор купли продажи жилого дома с земельным участком Здесь вы можете посмотреть и скачать шаблон купли-продажи купли-продажи жилого дома с земельным участком за 2018 год в удобном для вас формате. Помните, что вы всегда можете получить нашу […]
  • Кадетская школа в москве с проживанием для девочек ОБРАЗОВАНИЕ В МОСКВЕ Информация, адреса, документы, отзывы . Гос. образование Частное образование Доп. образование Доп. развитие Кадетские школы Москвы Все Кадетские школы Москвы Кадетская школа - начальное военно-учебное […]
  • Спор овощей стихотворение тувим Сценка про овощи (на основе стихотворения Ю. Тувима «Овощи») Оксана Шмакова Сценка про овощи (на основе стихотворения Ю. Тувима «Овощи») СЦЕНКА ПРО ОВОЩИ (по Ю. Тувиму) Действующие лица: воспитатель, Хозяйка (в фартуке и с корзинкой, дети в масках […]
  • Как увеличить пенсию чернобыльцу Пенсия пострадавшим в результате радиационных и техногенных катастроф Для людей, относящихся к пострадавшим от радиационных и техногенных аварий и катастроф, назначаются ежемесячные выплаты в целях компенсации вреда. Особое внимание уделяется […]
  • Рациональный потребитель защита прав потребителей Рациональный потребитель Рациональный потребитель — это такой потребитель товаров и услуг, который стремиться к достижению как можно большей общей полезности от потребления товаров и услуг. Другими словами, рациональный потребитель в рамках своего […]
  • По истечении какого срока снимается судимость По истечении какого срока возможно досрочное снятие судимости? По истичению какого срока снимается судимость после освобождения по статье 161 ч. 2. Пункт а. г. Ответы юристов (3) Добрый вечер, уважаемый Алексей! В соответствии со ст. 86 УК […]