Линейные и квадратные неравенства правила
Цели урока: вспомнить понятия линейное и квадратное неравенство; формировать навыки решения линейных и квадратных неравенств; формировать умение определять область допустимых значений выражений.
Ход урока.
Организационный момент.
Вступительное слово учителя.
Объяснение нового материала.
Объяснение нового материала (стр. 9-14):
1. Ввести определение линейного неравенства.
2. Ввести определение квадратного неравенства.
3. Ввести правила, применяемые при решении линейных и квадратных неравенств.
На доске заготовлены плакаты с информацией, которую учитель разбирает вместе с учащимися:
1. 
1.
2. 
2. 
Закрепление нового материала.
Решаются задания у доски по карточкам:
unimath.ru
Квадратные неравенства.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )
Что такое «квадратное неравенство»? Не вопрос!) Если взять любое квадратное уравнение и заменить в нём знак «=» (равно) на любой значок неравенства (> ≥ 2 -8x+12 ≥ 0
2. -x 2 +3x > 0
3. x 2 ≤ 4
Я не зря здесь связал уравнения и неравенства. Дело в том, что первый шаг в решении любого квадратного неравенства — решить уравнение, из которого это неравенство сделано. По этой причине — неспособность решать квадратные уравнения автоматически приводит к полному провалу и в неравенствах. Намёк понятен?) Если что, посмотрите, как решать любые квадратные уравнения. Там всё подробно расписано. А в этом уроке мы займёмся именно неравенствами.
Готовое для решения неравенство имеет вид: слева — квадратный трёхчлен ax 2 +bx+c, справа — ноль. Знак неравенства может быть абсолютно любой. Первые два примера здесь уже готовы к решению. Третий пример надо ещё подготовить.
Подготовка заключается в тождественных преобразованиях неравенств. Прогуляйтесь по ссылке, если хотите узнать главную ошибку учеников при решении любых неравенств.) Там всё просто. Да и полезная информация по неравенствам имеется.
Решение квадратных неравенств. Примеры.
Квадратные неравенства можно решать двумя способами. Один способ — это метод интервалов. Великий и могучий! Годится для любых неравенств вообще! Ему будет посвящён отдельный урок. Здесь же мы разберём более простой способ с использованием парабол. Зачем из пушки по воробьям палить?) Способ годится только для решения квадратных неравенств. Но прост, очень нагляден и не требует никаких особых расчётов. Что, между прочим, резко уменьшает количество ошибок.
Решение будем разбирать на конкретных примерах. Сразу обрадую: любые квадратные неравенства решаются так, как написано далее. Любое решение состоит из трёх шагов. Первый пример я распишу очень подробно. Для понимания. Кто осилит решение до конца, получит приятный бонус.)
1. Решить неравенство:
x 2 -8x+12 ≥ 0
Это неравенство уже готово для решения. Слева — квадратный трёхчлен, справа — ноль. Можно приступать.
Первый шаг решения.
Первый шаг всегда одинаков и прост до ужаса.) Делаем из неравенства уравнение:
Решаем это уравнение.
Знак неравенства на этом этапе нас совершенно не интересует.
Решаем, как обычно, без всяких фокусов, через дискриминант. Получаем корни:
Первый шаг сделан. Можно передохнуть.) Сейчас начнётся самое интересное.
Второй шаг решения.
На этом шаге мы ничего решать не будем. Мы будем рисовать.) Да-да! Квадратные неравенства, как правило, решаются графически.
Знак неравенства и на этом этапе нас совершенно не интересует.
Слово «парабола» вам знакомо?) Вам повезло. В этом случае специально запоминать ничего не придётся. Один раз разобраться, и проблем не будет. В противном случае придётся запомнить алгоритм решения механически. Алгоритм приведён ниже.
Итак, на первом шаге мы из неравенство сделали уравнение. Решили его. На втором шаге из уравнения сделаем параболу:
Нарисуем эту параболу на графике. Вот такая она получится:
Точки 2 и 6 — это корни уравнения x 2 -8x+12 = 0, если помните. ) Они располагаются прямо на оси ОХ. Почему так? А как же!? Сравните уравнение и параболу:
Корни уравнения — это иксы, при которых в правой части уравнения получается ноль. Стало быть, при таких иксах, и игрек нулевой будет. Выражения-то одинаковые. А нулевой игрек — это, как раз, ось ОХ и есть.
Фиксируем в голове: корни уравнения (2 и 6) — это значения икса, при которых выражение x 2 -8x+12 равно нулю. Это важно!
А теперь прикинем: при каких иксах выражение x 2 -8x+12 будет больше нуля? Как раз для такой прикидки нам и нужна парабола. Выражение x 2 -8x+12 это же и есть наш игрек. На графике чётко видно, где игрек больше нуля (положительный) и где он меньше нуля (отрицательный). Наводим мышку на рисунок (или касаемся картинки на планшете) и всё видим.
Если возьмём любую точку левее х=2, например х2, то соответствующий ему у2 будет положительный. Если возьмём точку х1 ещё левее, то пунктир пересечёт график далеко вверху, за пределами картинки, но игрек будет всё равно положительный.
Если мы возьмём икс правее точки х=6, скажем, х5, снова получим положительный у5.
Если же мы возьмём любую точку между х=2 и х=6, например х3 или х4 — мы получим соответствующие им отрицательные значения у3 и у4.
По параболе сразу видно, при каких иксах наш игрек (а это выражение x 2 -8x+12, между прочим!) больше нуля, меньше нуля и равен нулю!
По параболе, визуально, мы мгновенно определили знаки выражения x 2 -8x+12 при различных иксах. Можно нарисовать вот такую картину:
При всех иксах, которые меньше (левее) двойки, парабола проходит выше оси ОХ. Игрек при таких иксах — положительный, т.е. больше нуля. Следовательно, наше выражение x 2 -8x+12 при таких иксах больше нуля. Если мы убежим влево за рисунок, возьмём икс, равный минус сто миллионов, всё равно наше выражение будет больше нуля. Много-много больше.) Парабола — она бесконечная, и внезапно загибаться вниз не может.)
Аналогичная картина получится, если мы возьмём любой икс, больше (правее) шестёрки. Эти области на графике отмечены знаком «плюс»
А вот если мы возьмём любой икс в промежутке между 2 и 6, получим игрек отрицательный. Следовательно, при таких иксах, наше выражение меньше нуля.
Вот, практически и всё. На этом шаге мы руками нарисовали график, глазами увидели параболу, головой сообразили где какие знаки.) Осталось всего ничего.
Третий шаг решения.
На последнем шаге нужно вспомнить, что нам НЕ сказано было «решать уравнение». НЕ сказано было «строить график». Это, всего лишь, наши подручные средства.
Нам было сказано: решать квадратное неравенство!
Знак неравенства на этом этапе играет главную роль!
Смотрим на исходное неравенство:
x 2 -8x+12 ≥ 0
Нам нужно найти все иксы, при которых выражение в левой части неравенство больше, либо равно нулю. А чего их искать? Мы уже всё нашли.) Смотрим на график и видим, что это условие выполняется в областях, где стоит знак «+», (игрек больше нуля) и в точках х=2 и х=6 (игрек равен нулю).
Остаётся просто записать ответ.
Собственно, это и есть третий шаг решения любого квадратного неравенства.)
Вот и записываем окончательный ответ:
х ∈ (-∞; 2] ∪ [6; +∞)
Отмечу один полезный момент в графическом методе. На втором шаге мы определили все области для всех знаков. Махом. Что это значит? А то, что если бы у нас было неравенство противоположного смысла, т.е:
x 2 -8x+12 ≤ 0
то первые два шага были бы те же самые! Отличие прорезалось бы только на последнем, третьем шаге. Этот шаг, если кратко — просто выбор и запись ответа.
Ещё раз повторю: так решаются все квадратные неравенства. В три шага.
Что, долго? График строить, то, сё.
Спокойствие! Обещанный бонус резко упростит жизнь!)
Всё гораздо проще!
Для тех, кто героически добрался до этих строк и понял смысл использования параболы.) Сейчас, прямо на ваших глазах, я упрощу второй шаг решения до шести секунд. Без потери качества.)
Предположим, что вы сделали первый шаг и правильно решили квадратное уравнение. Теперь надо рисовать наш график:
Собственно, этот процесс и напрягает.) Но. Математики (вы удивитесь!) тоже люди.) И тоже не любят лишнюю работу. Смотрим на график, и соображаем: без чего на этой картинке можно обойтись?
Нужна ли нам ось ОУ? Если мы и так знаем, что часть параболы выше оси ОХ даёт положительные значения выражения, а ниже — отрицательные.
Не нужна нам ось ОУ. Её наличие никак не сказывается на правильном решении.
Нужна ли нам математически точная форма параболы?
Не нужна. Точная форма никак не сказывается на правильном решении.
Наводим мышку на график и. видим рисунок, который много проще графика. Рисуется за несколько секунд. На этом неказистом рисунке есть вся необходимая информация для верного ответа. И ничего лишнего.
Выделю главные элементы рисунка, которые необходимы для верного решения:
1. Ось иксов требуется, да. )
2. Корни соответствующего квадратного уравнения. Они отмечаются точками на оси. Точки могут быть чёрные, закрашенные (как в нашем случае), или белые, пустые внутри, как будет в следующем примере. Пустые внутри точки ещё называются выколотые точки. Чёрные точки ставятся для нестрогих неравенств (≤; ≥). Они визуально напоминают нам, что корни включаются в ответ. Выколотые точки ставятся для строгих неравенств ( ; ≠) и напоминают, что корни в ответ не включаются.
3. Схематичный рисунок параболы. Здесь важно только одно: куда направлены ветви параболы, вверх или вниз.
Всё. Штриховка, знаки плюс/минус — на любителя. Нужны поначалу, пока глаза и мысли разбегаются.)
Сейчас можно записать алгоритм решения квадратных неравенств по схематичному рисунку. Собственно, это те же самые три шага, только более подробно.
Алгоритм решения квадратных неравенств.
1. Подготавливаем неравенство к решению путём тождественных преобразований. Если неравенство уже готово, этот пункт пропускаем.
2. Делаем из неравенства уравнение. Решаем его, находим корни.
3. Рисуем ось Х, отмечаем точками корни уравнения. Если исходное неравенство нестрогое, точки — черные (закрашенные). Если строгое — белые (пустые внутри).
4. Схематично рисуем параболу по исходному выражению.
5. Определяем области +/- на рисунке. Выбираем нужные области по исходному неравенству и записываем ответ.
Потренируемся в применении алгоритма?)
-x 2 +3x > 0
Первый пункт пропускаем. Неравенство уже готово к решению.
Второй пункт. Делаем из неравенства уравнение:
Решаем (любым способом), находим корни:
Третий пункт. Рисуем ось иксов, отмечаем на ней корни уравнения:
Здесь точки на оси белые, т.к. исходное неравенство — строгое.
Четвёртый пункт. Рисуем (схематично!) параболу:
Парабола будет вверх ногами, извиняюсь, вниз ветвями.) Это потому, что в исходном выражении перед x 2 стоит минус. Минус перед одночленом с квадратом икса всегда переворачивает параболу.
Пятый пункт. Определяем области «+» и «-» на рисунке. Смотрим на исходное неравенство и соображаем, какое условие должно выполняться: больше нуля, или меньше? Нам надо больше нуля. Можно этот промежуток подштриховать. Для красоты):
Смотрим на картину и записываем ответ:
х ∈ (0; 3)
x 2 ≤ 4
Очень простое неравенство. Такое простое, что многие тут же косячат!) Не надо писать сразу x≤ ±2! Это редкий бред, да. ) Надо выполнять первый пункт.
Первый пункт. Готовим неравенство к решению. Переносим четвёрку влево, получаем:
x 2 — 4≤ 0
Вот теперь, всё как надо. Слева — выражение, справа — ноль.
Второй пункт:
Третий пункт:
Четвёртый пункт:
Пятый пункт:
х ∈ [-2; 2]
Вот и все дела! Десяток-другой примеров — и проблем с квадратными неравенствами не будет. Алгоритм прост и безотказен в обращении!)
Вот тут у особо быстрых возникает вопрос. А зачем я писал про параболу?! Почему сразу не дал алгоритм и примеры?!
Отвечаю. Если бы вы знали, сколько народу сыпется на применении тупо заученного алгоритма. А уж при малейшем отклонении от шаблона, простое задание становится вообще нерешаемым. Ниже будет парочка таких примеров. Если понимаете смысл алгоритма, шанс решить есть. Если же не понимаете. Понимание всегда побеждает механическую память.
1. Решить неравенство:
8x 2 — 6x + 1 > 0
2. Найти наименьшее положительное целое решение наравенства:
-x 2 + 2x ≥ -3
3. Найти все значения х, не являющиеся решением неравенства:
x 2 ≥ 16
4. Решить неравенство:
x 2 + 7x + 10 ≠ 0
5. Решить неравенство:
x 2 + 3x + 8 > 0
6. Решить неравенство:
x 2 — 4x + 4 2 — 4x + 4 ≤ 0
Ответы, в беспорядке, разумеется.)
х ∈ (-∞; -5) ∪ (-5; -2) ∪ (-2; +∞)
х ∈ (-∞; 0,25) ∪ (0,5; +∞)
х ∈ (-4; +4)
х ∈ Ø
Ну как, успешно? Поздравляю!
Примеры 2 — 4 не очень идут?) Понимаю. Это специально. В этих примерах первый источник ошибок присутствует, да.
Примеры 5 — 7 плохо решаются? Бывает. Кстати, подсказка. Если вы думаете, что в пятом примере решения нет, то ошибаетесь. Есть там решение. В этих примерах присутствует второй источник ошибок.
Вот эти два источника и дают фонтан ошибок при решении квадратных неравенств.) Что это за источники, и как просто и надёжно их перекрыть, написано в Разделе 555, если что. Там подробно расписано решение всех этих примеров с акцентом на основных проколах. Да и вообще, много чего хорошего есть.)
Если Вам нравится этот сайт.
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Вот здесь можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся — с интересом!)
А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.
www.egesdam.ru
Свойства числовых неравенств
- Свойство 1. Если a > b и b > c, то a > c (Пример: 8 > 4 и 4 > 3 => 8 > 3)
- Свойство 2. Если a > b, то a + const > b + const. Const-произвольное число (Пример: x — 3 > 0 x — 3 + 8 > 0 + 8)
- Свойство 3. Если a > b и m > 0, то am > bm;
Если a > b и m ”, знак “>” на “ b на -1, получим: -a b и c > d, то a + c > b + d (Пример: 8 > 4 и 3 > 2 => 8 + 3 > 4 + 2)
Линейные неравенства
Определение. Решением неравенства с одной переменной называется значение переменной, которое обращает его в верное числовое неравенство.
Рассмотрим, например, неравенство 2х + 5 0
где а и b — любые числа, за одним исключением: а ≠ 0.
Если а = 0, то рассматриваем 2 случая:
1) Если b > 0, то x может быть любое число (Ответ: 
)
Решение. Руководствуясь правилом 2, умножим обе части неравенства на положительное число 15, оставив знак неравенства без изменения. Это позволит нам освободиться от знаменателей, т.е. перейти к более простому неравенству, равносильному данному:
5x + 3(2x — 1) > 30x — 1
5x + 6x — 3 > 30x — 1
Воспользовавшись для последнего неравенства правилом 1, получим равносильное ему более простое неравенство:
Наконец, применив правило 3, получим:
Ответ: (-∞, 
).
Решить неравенство
3x + 2 > 2(x + 3) + x
Решение.
Раскроем скобки во второй части неравенства:
3x + 2 > 2x + 6 + x
Руководствуясь правилом 1, перенесем члены «с иксом» в левую часть неравенства, а «без икса» в правую:
3x — 2x — x > 6 — 2
Ответ: 
Пример 4:
Решить неравенство
2(x — 1) + 3 > 2x — 5
Решение.
Раскроем скобки во второй части неравенства:
2x — 2 + 3 > 2x — 5
Руководствуясь правилом 1, перенесем члены «с иксом» в левую часть неравенства, а «без икса» в правую:
2x — 2x > 2 — 5 — 3
Получаем верное неравенство.
В данном случае можно взять любое число x, так как от него не зависит решение.
Ответом является вся числовая прямая.
Ответ:
В заключение заметим, что, используя свойства числовых неравенств и правила, мы в этом параграфе учились решать не любое неравенство с переменной, а только такое, которое после ряда простейших преобразований (типа тех, что были выполнены в примерах из этого параграфа) принимает вид ax > b, такие неравенства называются линейными. Далее мы изучим методы для решения более сложных неравенств.
Математика. Другие материалы
Возведение числа в рациональную степень. (Автор: Покотило Екатерина)
Возведение числа в натуральную степень. (Автор: Покотило Екатерина)
Методы вычисления степенных выражений. (Автор: Покотило Екатерина)
Обобщенный метод интервалов при решении алгебраических неравенств (Автор Колчанов А.В.)
Метод замены множителей при решении алгебраических неравенств (Автор Колчанов А.В.)
Проверь себя по теме ‘Линейные неравенства’
ya-znau.ru
Линейные и квадратные неравенства правила
Линейные и квадратные неравенства
Прочитав название параграфа, вы, наверное, спросите: «Почему мы топчемся на месте?». В самом деле, линейные и квадратные неравенства с одной переменной вы научились решать в курсе алгебры 8-го класса — это была одна из последних тем курса. Почти ничего нового вы из этого параграфа не узнаете, более того, обнаружите, что некоторые примеры заимствованы из учебника «Алгебра-8». Рассматривайте этот параграф как возможность повторения, которое позволит вам плавно перейти к изучению новой темы (в следующем параграфе).
Напомним, что линейным неравенством с одной переменной х называют неравенство вида ах + b > О (вместо знака > может быть, разумеется, любой другой знак неравенства), где а и b — действительные числа 
Квадратным неравенством с одной переменной х называют неравенство вида ах 2 + Ьх + с > 0, где а,b,с — действительные числа (кроме а = 0).
Значение переменной х, которое обращает неравенство 
в верное числовое неравенство, называют решением неравенства (или частным решением). Множество всех частных решений неравенства называют общим решением (или просто решением) неравенства.
Замечание. Как видите, термин «решение» употребляют и в смысле общего, и в смысле частного решения неравенства. Более того, сам процесс отыскания решений неравенства тоже называют решением неравенства. Обычно по смыслу бывает ясно, какое понимание термина «решение» имеется в виду.
Два неравенства 
называют равносильными, если они имеют одинаковые решения (в частности, если оба неравенства не имеют решений).
Обычно при решении неравенства стараются заменить данное неравенство более простым, но равносильным ему. Такую замену называют равносильным преобразованием неравенства. Эти преобразования указаны в сформулированных ниже правилах 1—3.
Правило 1. Любой член неравенства можно перенести из одной части неравенства в другую с противоположным знаком (не меняя при этом знака неравенства).
Например, неравенство Зх + 5 2 равносильно неравенству -х 2 + Зх + 5 2 перенесли из правой части неравенства в левую с противоположным знаком).
Правило 2. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число,не меняя при этом знака неравенства.
Например, неравенство 8х — 4 > 12х 2 равносильно неравенству 2х — 1 > Зх 2 (обе части первого неравенства разделили на положительное число 4).
Правило 3. Обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив при этом знак неравенства на противоположный 
Например, неравенство -2х 2 — Зх + 1 2 + Зх — 1 > 0 (обе части первого неравенства умножили на отрицательное число -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный).
Правила 2 и 3 допускают следующие обобщения (соответствующие утверждения представляют собой теоремы, но мы, ради удобства читателя, оформим их в виде правил):
Правило 2*. Если обе части неравенства с переменной х умножить или разделить на одно и то же выражение р(х), положительное при всех значениях х, и сохранить знак исходного неравенства, то получится неравенство, равносильное данному.
Правило 3*. Если обе части неравенства с переменной х умножить или разделить на одно и то же выражение р(х), отрицательное при всех значениях х, и изменить знак исходного неравенства на противоположный, то получится неравенство, равносильное данному.
Например, неравенство (2х + 1)(х 2 + 2) > 0 равносильно неравенству 2х + 1 > 0 (обе части исходного неравенства разделили на выражение х 2 + 2, положительное при любых значениях х; при этом знак исходного неравенства оставили без изменения).
Неравенство 
равносильно неравенству Зх — 4 4 — 1, отрицательное при любых значениях х; при этом знак исходного неравенства изменили на противоположный).
Пример 1. Решить неравенство
Решение. Умножим обе части неравенства на положительное число 15, оставив знак неравенства без изменения (второе правило). Это позволит нам освободиться от знаменателей, т.е. перейти к более простому неравенству, равносильному данному:
Воспользовавшись первым правилом решения неравенств, перенесем член ЗОх из правой части неравенства в левую, а член -3 —из левой части в правую (с противоположными знаками). Получим
Наконец, применив третье правило, получим
Пример 2. Решить неравенство Зх + 9 2 .
1) Преобразуем неравенство к виду Зх + 9 — 2х 2 2 + Зх + 9; для этого решим квадратное уравнение -2х 2 + Зх + 9 = 0:
2) Парабола, служащая графиком функции у = -2х 2 + Зх + 9, пересекает ось х в точках 3 и -1,5, а ветви параболы направлены вниз, поскольку старший коэффициент квадратного трехчлена -2х 2 +Зх+9 равен -2, т.е. является отрицательным числом. На рис. 1 дано представление о графике функции.
3) Пользуясь рис. 1, делаем вывод: у 3.
Полезно вспомнить два утверждения, которые были доказаны в курсе алгебры 8-го класса и не раз понадобятся нам в дальнейшем.
1. Если квадратный трехчлен ах 2 + Ьх + с не имеет корней (т.е. его дискриминант D — отрицательное число) и если при этом а> О, то при всех значениях х выполняется неравенство ах 2 + Ьх + с> 0.
Иными словами, если D> 0, то неравенство ах 2 + bх + с > О выполняется при всех х; напротив, неравенство ах 2 + bх + с 2 + Ьх + с не имеет корней (т.е. его дискриминант D> — отрицательное число) и если при этом а 2 + Ьх + с 2 + Ьх + с 2 + Ьх + с > О в этом случае не имеет решений.
Эти утверждения суть частные случаи следующей теоремы.
Пример 3.Решить неравенство:
а) Найдем дискриминант квадратного трехчлена 2x 2 -х + 4. Имеем 
Старший коэффициент трехчлена (число 2) положителен. Значит, по теореме, при всех х выполняется неравенство 2х 2 — х + 4 > 0, т.е. решением заданного неравенства служит вся числовая прямая 
б) Найдем дискриминант квадратного трехчлена -х 2 + Зх — 8. Имеем 
Старший коэффициент трехчлена (число -1) отрицателен. Следовательно, по теореме, при всех х выполняется неравенство -х 2 + Зх — 8 2 + Зх + 8 > 0 не выполняется ни при каком значении х, т.е. не имеет решений.
О т в е т: а) (-оо,+оо); б) нет решений.
В следующем примере мы напомним вам еще один способ рассуждений, который можно применять при решении неравенств.
Пример 4. Решить неравенство х 2 — 6х + 8 > 0.
Решение. Разложим квадратный трехчлен х 2 — 6х + 8 на множители. Корнями трехчлена являются числа 2 и 4. Воспользовавшись формулой ах 2 + Ьх + с = а(х — хb)(х — х 2 ), получим х 2 — 6х + 8 = (х — 2)(х — 4).
Отметим на числовой прямой корни трехчлена: 2 и 4 (рис. 2). Выясним, когда произведение (х — 2) (х — 4) положительно, а когда — отрицательно. Если х>4,то х-2>0 и х-4>0,значит,(х-2)(х-4)>0. Если 2 0, ах-4 О (рис. 2). Спрашивается, при каких значениях переменной х квадратный трехчлен х2 — 6х + 8 принимает положительные значения? С помощью геометрической модели, представленной на рис. 2, делаем вывод: указанный квадратный трехчлен принимает положительные значения на двух открытых лучах — (-оо, 2) и (4, +оо).
Метод рассуждений, который мы применили в примере 4, называют обычно методом интервалов (или методом промежутков). Он активно используется в математике для решения рациональных неравенств. В следующем параграфе мы изучим метод интервалов более детально, а этот параграф, чтобы не ограничиваться в нем только напоминанием известного, завершим примером, в котором речь идет о решении так называемых «неравенств с модулями».
Пример 5. Решить неравенство:
Решение. Напомним геометрическое истолкование выражения | x — а | — это расстояние на координатной (числовой) прямой между точками х и а, которое обозначают р(х, а) (р — буква греческого алфавита «ро»):
| х — а | = р(x2 а).
Например,
а) Переведем аналитическую модель | х — 21 2,7. Переведем аналитическую модель | x | > 2,7 на геометрический язык: нам нужно найти на координатной прямой такие точки x, которые удовлетворяют условию р(x, 0) > 2,7, т.е. удалены от точки 0 на расстояние, большее 2,7. Это все точки, принадлежащие открытым лучам (-оо, -2,7) или (2,7, +оо) (рис. 5).
О т в е т: а) -1 2,7.
А.Г. Мордкович Алгебра 9 класс
Материалы по математике онлайн, задачи и ответы по классам, планы конспектов уроков по математике скачать
Если у вас есть исправления или предложения к данному уроку, напишите нам.
Если вы хотите увидеть другие корректировки и пожелания к урокам, смотрите здесь — Образовательный форум.
edufuture.biz
Линейные неравенства. Начальный уровень.
Хочешь проверить свои силы и узнать результат насколько ты готов к ЕГЭ или ОГЭ?
Линейными неравенствами называются неравенства вида:
где и – любые числа, причем ; — неизвестная переменная.
Правила преобразования неравенств:
Правило 1. Любой член неравенства можно переносить из одной части неравенства в другую, меняя при этом знак на противоположный (т.е. при переносе через знак неравенства знаки при слагаемых меняются на противоположные).
Правило 2. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же положительное число, при этом получится неравенство, равносильное данному.
Правило 3. Обе части неравенства можно умножить/разделить на одно и то же отрицательное число, меняя знак неравенства на противоположный (т.е. знак «> на знак , и наоборот; знак на знак , и наоборот).
Раз уж ты оказался на этой теме, то ты наверняка уже знаком с темой «Линейные уравнения». Если нет, то лучше скорей отправляйся исправлять это недоразумение. Без усвоенной темы «Линейные уравнения» спокойное плавание в «Линейных неравенствах» не гарантировано.
Итак, надеюсь, ты уже знаком с линейными уравнениями, поэтому можно смело покорять неравенства!
Что такое «линейные неравенства»?
Если ты ознакомился с линейными уравнениями, то уже знаком с Васей, который раздавал яблоки своим друзьям. Давай вернемся к примеру с Васей (может, и нам что-то перепадет?).
Так вот, предположим, что у Васи больше, чем яблок. Все свои яблоки он хочет раздать поровну троим друзьям. По сколько яблок получит каждый друг?
Если обозначить через количество яблок, которое достанется каждому из трех друзей, то получим следующее линейное неравенство:
Дальше мы делим обе части составленного неравенства на и получаем:
Таким образом, каждый друг щедрого Васи получит больше, чем яблока.
Ну вот и справились с неравенством!
Сейчас я введу формализованное определение линейного неравенства и будем разбираться с ним дальше.
Линейные неравенства — это неравенства вида:
где и – любые числа, причем ; — неизвестная переменная.
Все приведенные выше неравенства являются линейными. Во всех них «сидит» очень важная особенность: в таких неравенствах нет иксов в квадрате, в кубе и т.д., кроме того в этих неравенствах нет деления на икс и икс не находится под знаком корня.
Чтобы лучше распознавать линейные неравенства, настоятельно рекомендую тебе еще раз заглянуть в раздел «Скрытые» линейные уравнения или…» темы «Линейные уравнения. Начальный уровень.». Линейные неравенства обладают не меньшим талантом «скрываться».
Чтобы не попасть впросак и с легкостью преобразовывать любые неравенства надо знать и успешно применять 3 очень важных правила. Эти знания здорово упростят тебе жизнь на пути в решении неравенств.
Правила преобразования неравенств
Два неравенства равносильны, если они имеют одинаковые решения. Решить неравенство – значит найти все значения переменной, при которых неравенство обращается в верное числовое неравенство. Для упрощения процесса нахождения всех корней неравенства проводятся равносильные преобразования, то есть проводится замена данного неравенства более простым, при этом не должны потеряться никакие решения и не должно возникнуть никаких посторонних корней.
В общем, это все пока только слова. Давай разбираться прямо на правилах.
7\text< >\Rightarrow 3x>7+4\Rightarrow 3x>11″>
Таким образом, можно с уверенностью сказать, что 7″> равносильно 11″> .
Или вот такой пример:
В теме «Линейные уравнения» говорилось, что для удобства принято переносить слагаемые с переменной в левую часть, а остальные в правую – так и поступим:
Здесь все должно быть понятно, перейдем к следующему правилу.
Вернемся к нашим двум предыдущим примерам.
В первом примере мы остановились на 11″> . Применим правило 2, разделив обе части неравенства на положительное число :
Заметил, знак неравенства как был «больше», так и сохранился? Все это потому, что мы делили на положительное число.
Давай закрепим на втором примере, где мы остановились на . Разделим обе части неравенства на :
Делили на положительное число , поэтому знак неравенства сохранился.
Почему так акцентируется внимание на том, что знак неравенства сохраняется? А вот потому, что в отличие от преобразований линейных уравнений, преобразования линейных неравенств имеют свою особенность, можно даже сказать «подводный камень». Что это за «камень» должно прояснить правило 3.
Заметил важное отличие от правила 2? Все верно:
- При умножении/делении на положительное число знак неравенства сохраняется
- При умножении/делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный
Делим на отрицательное число , тогда знак неравенства меняется на противоположный:
Заметил, знак (меньше) заменили на знак «> (больше)?
Или вот такой пример:
Делим обе части на отрицательное число , меняя при этом знак неравенства на противоположный:
Усвоил? Тогда давай закреплять на примерах
Не пугайся, что примеры, на первый взгляд, сложней, чем мы с тобой разбирали. Мы ведь знаем все необходимые правила преобразования линейных неравенств, а значит, не пропадем.
Ну что, приступим? Как-никак, это не Эверест покорять.
Раскроем для начала скобки и приведем подобные слагаемые:
А теперь можем применять наши правила преобразования линейных неравенств:
Ну вот, мы почти решили наше неравенство – осталось записать ответ в виде промежутка. Неравенство у нас нестрогое, поэтому число включается в наш промежуток. Для наглядности изображу решения на оси:
Запишем ответ: .
Все, как в первом примере: раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые, осуществляем необходимые преобразования:
Неравенство у нас нестрогое, поэтому число включается в наш промежуток:
Ответ:
3.
Думаешь это не линейное неравенство? А что мы говорили в теме Линейные уравнений об их «скрытности»? Поспешных выводов делать не стоит, давай лучше проведем все возможные преобразования и убедимся, что это линейное неравенство, либо докажем обратное.
Сейчас будем делить обе части неравенства на отрицательное число . Что же тогда произойдет со знаком неравенства? Все верно – он поменяется на противоположный!
Неравенство нестрогое, значит, включается в наш промежуток.
Ответ:
Проводим соответствующие преобразования:
Делим обе части на отрицательное число , не забывая поменять знак неравенства на противоположный:
Неравенство нестрогое, поэтому — не включается в промежуток:
Ответ:
Этот пример проще, поэтому сразу запишу ход решения без комментариев:
Ответ:
Линейные неравенства с двумя переменными
В теме Линейные уравнения достаточно подробно разобрано понятие линейного уравнения с двумя переменными. Линейное неравенство представляет собой практически то же самое, только знак равенства меняется на знак неравенства , .
Линейные неравенства с двумя переменными имеют вид:
где , и – любые числа, .
А вся разница с линейным неравенством с одной переменной только в том, что в неравенство добавляется еще одна переменная .
Решением неравенства с двумя переменными называется множество пар чисел , которые удовлетворяют этому неравенству (т.е. при подстановке этих точек неравенство верно).
Для решения линейных неравенств с двумя переменными, используется графический способ.
Давай разберем вот такой пример:
Решение:
Как уже упоминалось, решается такое неравенство графически.
Построим график уравнения . Как ты уже должен был знать из темы «Линейные уравнения», графиком будет прямая.
Строим график по двум точкам, через которые проходит прямая, к примеру, и . Вот, что у меня получилось:
Так как неравенство в этом примере у нас строгое, то координаты точек самого графика прямой не будут являться решением исходного неравенства. Поэтому обозначим линию пунктиром на графике:
Как можно заметить, прямая разбила плоскость на две полуплоскости. Все точки одной из полуплоскостей будут являться решением исходного неравенства.
Так как в исходном неравенстве у нас стоит знак «> , то мы должны выбрать те точки, которые лежат выше графика прямой. Изобразим все решения неравенства на графике:
Все решения «затушеваны» голубым цветом. Вот и все, неравенство с двумя переменными решено. Это значит, что координаты и любой точки из закрашенной области – решения неравенства.
Комментарии
Спасибо. всё чётко и ясно
Пожалуйста, Тамара. Мы рады, что тебе понра. 🙂
А есть примеры с квадратными уравнениями? С нахождением дискриминанта ну короче говоря где получается два корня?
Привет, Андрей. Вот раздел «квадратные уравнения»: http://youclever.org/book/kvadratnye-uravneniya-1, если ты об этом. Там вверху переключатель уровней сложности. По этой теме три уровня.
Вообще, если зайти на главную страницу сайта youclever.org, то можно увидеть оглавление по всей математике. Любую тему. Это наш учебник «От чайника до монстра» с 8 по 11 класс для разного уровня подготовки. Там есть примеры.
Объясните, пожалуйста, что значит «лежат выше графика прямой»
Инна, привет! Это те точки на плоскости, которые закрашены. Они лежат выше графика прямой, проходящей через точки В и С.
2x←(-4) знак тоже поменяется?
Распространение материалов без согласования допустимо при наличии dofollow-ссылки на страницу-источник.
Политика конфиденциальности
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
- В случае если необходимо — в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ — раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности — включая административные, технические и физические — для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Спасибо за сообщение!
Ваш комментарий принят, после модерации он будет опубликован на данной странице.
Хотите узнать что скрыто под катом и получать эксклюзивные материалы по подготовке к ОГЭ и ЕГЭ? Оставьте e-mail
youclever.org