Оглавление:

Трапеция, ее признаки и свойства

Трапеция — четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две стороны не параллельны. Параллельные стороны называются основаниями трапеции, две другие — боковыми сторонами.

Высота трапеции — расстояние между прямыми, на которых лежат основания трапеции, любой общий перпендикуляр этих прямых.

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Если в трапецию вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон: , а средняя линия — полусумме боковых сторон: .

Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны . Тогда равны диагонали и углы при основании , .

Из всех трапеций только около равнобедренной трапеции можно описать окружность, так как окружность можно описать около четырехугольника, только если сумма противоположных углов равна .

В равнобедренной трапеции расстояние от вершины одного основания, до проекции противоположной вершины на прямую, содержащую это основание равно средней линии.

Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой один из углов при основании равен .

www.fmclass.ru

Трапеция. Свойства трапеции

Трапеция – четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна).

Параллельные стороны трапеции называются основаниями. Другие две — боковые стороны .
Если боковые стороны равны, трапеция называется равнобедренной .

Трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной .

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции .

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

3. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны.

Коэффициент подобия –

Отношение площадей этих треугольников есть .

4. Треугольники и , образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь.

5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

6. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии.

7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны.

2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны.

3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная.

4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность.

5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная окружность

Если в трапецию вписана окружность с радиусом и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — и , то

или где – средняя линия

Смотрите хорошую подборку задач с трапецией (входят в ГИА и часть В ЕГЭ) здесь и здесь.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

egemaximum.ru

Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции

Признаки равнобедренной трапеции

∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC

∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC

∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°

Основные свойства равнобедренной трапеции

∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + CD 2 + 2BC · AD

Стороны равнобедренной трапеции

Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:

a = b + 2 h ctg α = b + 2 c cos α

b = a — 2 h ctg α = a — 2 c cos α

Средняя линия равнобедренной трапеции

Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:

m = a — h ctg α = b + h ctg α = a — √ c 2 — h 2 = b + √ c 2 — h 2

Высота равнобедренной трапеции

Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:

Диагонали равнобедренной трапеции

Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:

d 1 = √ a 2 + c 2 — 2 ac cos α

d 1 = √ b 2 + c 2 — 2 bc cos β

Площадь равнобедренной трапеции

Формулы площади равнобедренной трапеции:

2. Формула площади через стороны и угол:

S = ( b + c cos α ) c sin α = ( a — c cos α ) c sin α

5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:

S = ( a + b ) · r = √ ab ·c = √ ab ·m

7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:

S = mc sin α = mc sin β

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

ru.onlinemschool.com

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

  • Основы трапеции — параллельные стороны
  • Боковые стороны — две другие стороны
  • Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.
  • Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
  • Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d 1 2 + d 2 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d 1 = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d 2 = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

d 1 = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d 2 = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d 1 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 2 2

d 2 = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d 1 2

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

ru.onlinemschool.com

Четырехугольники

Четырехугольником называется фигура, которая состоит из четырех точек и четырех последовательно соединяющих их отрезков. При этом никакие три из данных точек не лежат на одной прямой, а соединяющие их отрезки не пересекаются.

Две несмежные стороны четырехугольника называются противоположными . Две вершины, не являющиеся соседними, называются также противоположными.

Виды четырёхугольников


Параллелограмм

Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

Свойства параллелограмма


  • противолежащие стороны равны;
  • противоположные углы равны;
  • диагонали точкой пересечения делятся пополам;
  • сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°;
  • сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех сторон:

Признаки параллелограмма

Четырехугольник является параллелограммом, если:

  1. Две его противоположные стороны равны и параллельны.
  2. Противоположные стороны попарно равны.
  3. Противоположные углы попарно равны.
  4. Диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Трапецией называется четырехугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны, а две другие непараллельны.

Параллельные стороны трапеции называются ее основаниями, а непараллельные стороны — боковыми сторонами. Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией.

Трапеция называется равнобедренной (или равнобокой), если ее боковые стороны равны.

Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной.

Свойства трапеции


  • ее средняя линия параллельна основаниям и равна их полусумме;
  • если трапеция равнобокая, то ее диагонали равны и углы при основании равны;
  • если трапеция равнобокая, то около нее можно описать окружность;
  • если сумма оснований равна сумме боковых сторон, то в нее можно вписать окружность.

Признаки трапеции

Четырехугольник является трапецией, если его параллельные стороны не равны

Прямоугольник

Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые.

Свойства прямоугольника

Признаки прямоугольника

Параллелограмм является прямоугольником, если:

  1. Один из его углов прямой.
  2. Его диагонали равны.

Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны.

Свойства ромба


  • все свойства параллелограмма;
  • диагонали перпендикулярны;
  • диагонали являются биссектрисами его углов.

Признаки ромба


  1. Параллелограмм является ромбом, если:
  2. Две его смежные стороны равны.
  3. Его диагонали перпендикулярны.
  4. Одна из диагоналей является биссектрисой его угла.

Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны.

Свойства квадрата


  • все углы квадрата прямые;
  • диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.

Признаки квадрата

Прямоугольник является квадратом, если он обладает каким-нибудь признаком ромба.

Основные формулы


  1. Произвольный выпуклый четырехугольник
    d1, d2 диагонали; — угол между ними; S — площадь.

S =d1d2 sin

Параллелограмм
a и b — смежные стороны; угол между ними; ha высота, проведенная к стороне a.

S = ab sin

S =d1d2 sin

Трапеция
a и b — основания; h — расстояние между ними; l — средняя линия.

Прямоугольник

S =d1d2 sin

Ромб

S = a 2 sin

S =d1d2

Квадрат
d — диагональ.

S =d 2

www.univer.omsk.su

Еще по теме:

  • Гибкий шланг к коллектору Обустройство стояка - помогите сориентироваться с ПП и коллектором FAR Есть такой вот стояк: Хочется его окультурить. В целом концепция примерно такая: после счётчиков полипропиленом идти в сторону стены, там крепить FAR-овские коллекторы, а дальше […]
  • Личные качества для суда Образец резюме секретаря судебного заседания Секретарь судебного заседания – должность, которая присутствует только в государственных судах. Этот работник выполняет множество функций, но в первую очередь является правой рукой судьи. Так как это […]
  • Страховка в ссср к бракосочетанию Пресса о страховании, страховых компаниях и страховом рынке Коммерсантъ, 8 августа 2008 г.Страховой рынок проиграл на фондовом Крупнейшие страховые компании мира вчера подвели квартальные и полугодовые итоги работы. Немецкая Allianz и […]
  • Есть разрешение 1440х900 Отсутствует разрешение 1440х900 для монитора Не могу роставить разрешение 1440х900 в Windows 7Решил перейти с xp на Windows 7. Благополучно установил w7. Появилась проблема. Неподдерживаемое разрешение монитораУстановил на монитор с разрешением […]
  • Выплаты по осаго после суда Пресса о страховании, страховых компаниях и страховом рынке Бизнес-журнал, 10 августа 2008 г.Повышение тарифов ОСАГО не за горами Российские страховщики, неоднократно выступавшие за повышение тарифов ОСАГО, могут вздохнуть с облегчением. […]
  • Переселение соотечественников новосибирская область Переселение соотечественников новосибирская область Приглашаем соотечественников - успешно обучающихся студентов старших курсов очной формы обучения ВУЗов г.Новосибирска, имеющих разрешение на временное проживание в Новосибирской области, временное […]